Sejam E = e 1 , e 2 , e 3 e F = f 1 , f 2 , f 3 bases de V 3 tais que F é ortonormal e

f 1 = e 1 + e 2 - e 3 f 2 = e 2 - e 3 f 3 = 2 e 2 - e 3

Se v = 0,1 , 1 F e u = 1,1 , 1 E , então p r o j v u é igual a

Passo 1

E aí pessoal, beleza? Vamos lá fechar as questões dessa provinha hehehe

Temos duas bases no espaço V 3 :

E = e 1 , e 2 , e 3

F = f 1 , f 2 , f 3

Sendo que F é uma base ortonormal, ou seja: os vetores dela têm tamanho 1 e são ortogonais entre si

E aí temos os vetores v = 0,1 , 1 F e u = 1,1 , 1 E , e queremos encontrar p r o j v u

Só lembrando, a fórmula de projeção ortogonal é dada por

p r o j v u = u . v v . v . v

MAS, como v está escrito na base F , vamos ter que escrever u na base F também. Aí depois aplicamos nessa formulazinha aí em cima, sacou?

Então vamos começar mudando a base de E para F no vetor u

Passo 2

O vetor u escrito na base F vai ser

u F = M E , F ∙ u E

Onde M E , F é a matriz de mudança de base de E para F

Ta, mas... como encontramos essa matriz?....

Caalma que o exercício não ia deixar a gente sem rumo hahaha vamos lembrar dessa informação que ele deu:

f 1 = e 1 + e 2 - e 3 f 2 = e 2 - e 3 f 3 = 2 e 2 - e 3

Ou seja, já temos uma forma de escrever os vetores de F na base E . Colocando isso em forma matricial (inserindo os coeficientes nas colunas de uma matriz), chegamos na matriz de mudança de base de F para E :

M F , E = 1 0 0 1 1 2 - 1 - 1 1

Mas não é ela que queremos! Queremos o contrário, M E , F

Então é só inverter :P

M E , F = M F , E - 1

Passo 3

Vamos lá inverter a matriz:

M E , F = 1 0 0 1 1 2 - 1 - 1 1 - 1

Para isso, vamos colocar uma matriz identidade à direita dela e escalonar as duas, até que a matriz da esquerda vire a matriz identidade

1 0 0 1 1 2 - 1 - 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então vamos lá:

1 0 0 1 1 2 - 1 - 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 + L 1 1 0 0 0 1 2 0 - 1 1 1 0 0 - 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 2 0 - 1 1 1 0 0 - 1 1 0 1 0 1 → L 3 → L 3 + L 2 1 0 0 0 1 2 0 0 3 1 0 0 - 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 2 0 0 3 1 0 0 - 1 1 0 0 1 1 → L 3 → L 3 3 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 0 1 3 1 3

E por fim:

1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 - 1 1 0 0 1 3 1 3 → L 2 → L 2 - 2 L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 1 3 - 2 3 0 1 3 1 3

Portanto, a matriz inversa é

M E , F = 1 0 0 - 1 1 3 - 2 3 0 1 3 1 3

Passo 4

Agora podemos aplicar:

u F = M E , F ∙ u E

Então vamos encontrar o vetor u escrito na base F 😊

u F = 1 0 0 - 1 1 3 - 2 3 0 1 3 1 3 ∙ 1 1 1

Multiplicando as matrizes

u F = 1 + 0 + 0 - 1 + 1 3 - 2 3 1 3 + 1 3 = 1 - 4 3 2 3

Uhuu, então já temos o vetor que precisávamos para calcular a projeção:

u F = 1 , - 4 3 , 2 3

Passo 5

Agora vamos substituir o que temos na fórmula:

p r o j v u = u . v v . v . v

p r o j v u = 1 , - 4 3 , 2 3 . 0,1 , 1 0,1 , 1 . 0,1 , 1 . 0,1 , 1

Então:

p r o j v u = - 4 3 + 2 3 2 . 0,1 , 1

p r o j v u = - 2 3 2 . 0,1 , 1

p r o j v u = - 1 3 . 0,1 , 1

p r o j v u = 0 , - 1 3 , - 1 3

Showww! Como queremos o módulo desse vetor, fazemos:

p r o j v u = 0 2 + 1 3 2 + 1 3 2

p r o j v u = 1 9 + 1 9 = 2 3

Uff, essa foi longa hahaha

Resposta

p r o j v u = 2 3

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .