Considere no espaço E 3 um cubo cujos vértices são A , B , C , D , E , F , G , H em que A B C D ,   A D H E ,   A B F E   são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo:

Seja B e C as bases de V 3 dadas por:

B = D A → , D C → , D H →     e     C = D E → , B D → ,   D G → .

Se M B C é a matriz real 3 x 3 tal que

M B C v → C = v → B ,

Para todo v → ∈ V 3 , então o determinante de M B C é igual a:

a )   1 ;

b ) - 1 ;

c )   3 ;

d )   2 ;

e ) - 2 .

Passo 1

Falaaaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova. Para entendermos o que vamos fazer bora analisar M B C v → C = v → B .

Essa equação nos diz que M B C é a matriz que pega vetores escritos na base C e transforma eles para base B . Vale lembrarmos que quando temos uma matriz desse tipo, suas colunas são dadas por:

Coluna 1 = 1 º   vetor de C escrito na base B

Coluna 2 = 2 º   vetor de C escrito na base B

Coluna 3 = 3 º   vetor de C escrito na base B

Ou seja, para montar a matriz, basta escrevermos cada cara da base C como combinação dos vetores da base B

Passo 2

Para fazermos isso, vamos notar que:

D E → =   1 D A → + 0 D C → + 1 D H →

Ou seja: D E → = 1,0 , 1 B

Além disso, temos que:

B D → = - D B → =   - 1 D A → + 1 D C → + 0 D H →

Logo: B D → = - 1 , - 1,0 B

E para finalizar:

D G → = 0 D A → + 1 D C → + 1 D H →

E por isso

D G → = 0,1 , 1 B

Passo 3

Ou seja, temos que a nossa matriz é da forma:

M B C = 1 - 1 0 0 - 1 1 1 0 1

Por Laplace, temos que:

det ⁡ M B C = 1 - 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 =   - 1 - 1 = - 2

E assim chegamos ao fim de mais um probleminha, bora para o próximo??

Resposta

Letra E

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .