Seja V = R 3 , e seja W o conjunto solução do sistema linear homogêneo cuja matriz de coeficientes é

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a Justifique porque W é subespaço de V , e ache uma base para W .

b Estenda a base obtida acima (item a ) para obter uma base de V .

Passo 1

a O conjunto solução do sistema linear homogêneo é o núcleo de A , e sabemos que o núcleo será sempre um subespaço do domínio da matriz. Como D o m A = R 3 , o núcleo é um subespaço do R 3 . Logo, W é um subespaço de V .

Escalonando A obtemos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 → L 2 ← L 2 - 4 L 1 L 3 ← L 3 - 7 L 1 1 2 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 2 3 0 - 3 - 6 0 0 0

O conjunto solução do sistema homogêneo é:

x + 2 y + 3 z = 0 - 3 y - 6 z = 0       I I I

De I I temos:

y = - 2 z

Substituindo em I :

x - 4 z + 3 z = 0

x = z

Logo,

W = z 1 - 2 1 , z ∈ R

Então,

β W = 1 , - 2,1

Passo 2

b Basta pegarmos mais dois vetores que, juntos com 1 , - 2,1 formem um conjunto L I !

Por exemplo, o 1 , 0,0 e o 0,0 , 1 ! Logo,

β = 1 , - 2,1 , 1,0 , 0 , 0,0 , 1

é uma base de V .

Resposta

a β W = 1 , - 2,1

b β = 1 , - 2,1 , 1,0 , 0 , 0,0 , 1

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .