Considere os polinômios:

p 1 t = - 1 - t + 4 t 2 - 5 t 3 , p 2 t = 1 + 4 t - t 2 + 3 t 3 e p 3 t = 1 + t - 4 t 2 + 4 t 3 .

Assinale a alternativa em que o polinômio p 4 é tal que { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } é uma base de P 3 R :

  1. p 4 t = 1 + 3 t - 2 t 2 + 3 t 3 ;
  2. p 4 t = t 3 ;
  3. p 4 t = t + t 2 ;
  4. p 4 t = 1 + 4 t - t 2 ;
  5. p 4 t = 5 t 2 + 5 t 3 .

Passo 1

Fala aí, pessoal! Como vocês estão? A questão tá pedindo pra gente que { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } seja uma base de P 3 R , certo? Vamos primeiro dar uma relembrada do que isso significa. Um elemento de P 3 R nada mais é do que um polinômio de grau até três, ou seja, algo da forma:

p t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 ,     a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

Com isso, dizer que { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } é uma base de P 3 R significa que qualquer polinômio como esse daí de cima deve poder ser escrito de forma única como uma combinação linear dos polinômios do conjunto { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } , ou seja:

p t = α a + t + β 1 + t + t 2 + γ t + t 2 + t 3 + ζ t 2 + a t 3

onde α , β , γ , ζ são os coeficientes da nossa combinação linear.

Beleza. Mas agora, talvez você esteja pensando: “eu já lidei com vetores e bases no R n , mas como que eu vou fazer para verificar se um conjunto de polinômios é uma base?” Pois bem, agora que entra nosso truque maravilhoso!

Vamos pensar o seguinte: um polinômio do tipo de p t é perfeitamente identificável por aqueles 4 coeficientes ali, a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , certo? Então o que vamos fazer é corresponder esses polinômios com vetores do R 4 , da seguinte forma:

a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 ⟺ a 0 , a 1 , a 2 , a 3

Fazendo isso com os polinômios p 1 , p 2 , p 3 que nos foram dados no enunciado, temos:

  • p 1 t = - 1 - t + 4 t 2 - 5 t 3 ⟺ - 1 , - 1,4 , - 5
  • p 2 t = 1 + 4 t - t 2 + 3 t 3 ⟺ 1,4 , - 1,3
  • p 3 t = 1 + t - 4 t 2 + 4 t 3 ⟺ 1,1 , - 4,4

Vamos também agora fazer a correspondência para cada polinômio das alternativas da múltipla escolha:

  1. p 4 t = 1 + 3 t - 2 t 2 + 3 t 3 ⟺ 1,3 , - 2,3
  2. p 4 t = t 3 ⟺ 0,0 , 0,1
  3. p 4 t = t + t 2 ⟺ 0,1 , 1,0
  4. p 4 t = 1 + 4 t - t 2 ⟺ 1,4 , - 1,0
  5. p 4 t = 5 t 2 + 5 t 3 ⟺ 0,0 , 5,5

Show de bola, fizemos nossa equivalência entre os polinômios e vetores do R 4 , mas é qual mesmo a condição que precisamos satisfazer para ter uma base? O conjunto de vetores deve ter o mesmo número de vetores que a dimensão do espaço e eles devem ser todos LI!

Juntando os polinômios p 1 , p 2 , p 3 do enunciado com qualquer um dos vetores p 4 das alternativas da múltipla escolha, temos um conjunto de 4 polinômios, então no quesito dimensão tá ótimo!

Mas e quanto a eles serem LI? Excelente pergunta! É por aí que nossa estratégia vai: vamos aplicar algum teste para verificar se um conjunto de vetores é LI para checar qual das alternativas satisfaz essa condição. Infelizmente não tem nenhum jeito mais fácil de chegar à resposta do que ficar testando as alternativas uma a uma ☹. Mas não desanima, vamos lá!

Passo 2

Nos cursos de Álgebra Linear costumam ensinar muitas formas diferentes de testar se um conjunto de vetores é LI ou não. Aqui vamos fazer o seguinte: colocar os três vetores que identificamos com p 1 , p 2 , p 3 nas três primeiras linhas de uma matriz. Na quarta linha vamos colocar o vetor correspondente ao p 4 da alternativa que estivermos testando.

Feito isso, vamos então escalonar a matriz! Para que os vetores sejam LI, devemos no final ter exatamente 4 pivôs. Se isso não acontecer, eles são LD. Entendeu?

Como aqui eu já sei qual é a resposta, vou fazer direto ela, beleza? Hahah. Mas o procedimento é exatamente o mesmo para cada alternativa. Bora testar a letra (e):

- 1 - 1 4 - 5 1 4 - 1 3 1 1 - 4 4 0 0 5 5

Somando a primeira linha com a segunda e com a terceira separadamente, temos:

- 1 - 1 4 - 5 0 3 3 - 2 0 0 0 - 1 0 0 5 5

Permutando a terceira e a quarta linhas:

- 1 - 1 4 - 5 0 3 3 - 2 0 0 5 5 0 0 0 - 1

E tá pronto! Nossa matriz tem os 4 pivôs direitinho. Logo, o conjunto { p 1 , p 2 , p 3 , p 4 } é LI para p 4 t = 5 t 2 + 5 t 3 , sendo, portanto, uma base para P 3 R .

Entendeu tudinho? Então vamos juntos para nossa próxima questão!

Resposta

(e) p 4 t = 5 t 2 + 5 t 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .