Seja ε uma base ortonormal de V 3 e seja λ ∈ R . Considere os vetores

f 1 = - λ , 0,4 ε

f 2 = 0,1 , 0 ε

f 3 = 5,0 , - λ ε

Sabendo que f 1 , f 2 , f 3 é uma base de V 3 com orientação oposta à de ε e que os vetores λ , - 4,6 ε e 2 λ , λ , - 5 ε são ortogonais, conclui-se que λ é igual a

Passo 1

Oiii pessoal, tudo belezinha? Vamos lá que a gente consegue!

Mas falando sério, essa questão é mais simples do que parece

Resumindo as informações aqui, temos uma base ε que é ortonormal. Portanto, ela tem orientação positiva

Aí temos uma outra base:

- λ , 0,4 ε , 0,1 , 0 ε , 5,0 , - λ ε

Que tem orientação oposta à da base ε . Portanto, ela vai ter orientação negativa. Isso significa que o determinante dessa matriz vai ser menor do que 0 :

- λ 0 4 0 1 0 5 0 - λ

E também sabemos que os vetores λ , - 4,6 ε e 2 λ , λ , - 5 ε são ortogonais. Isso quer dizer que o produto escalar entre eles vai valer 0 .

Aí é só aplicarmos essas duas informações e encontrarmos o valor de λ , fechou?

Passo 2

Vamos começar pela informação de que os vetores λ , - 4,6 ε e 2 λ , λ , - 5 ε são ortogonais

Isso quer dizer que:

λ , - 4,6 . 2 λ , λ , - 5 = 0

λ . 2 λ - 4 . λ - 6 ∙ 5 = 0

2 λ 2 - 4 λ - 30 = 0

Opa, então caímos em uma equação do 2° grau. Vamos ver quais os possíveis valores de λ :

∆ = - 4 2 - 4 ∙ 2 ∙ - 30 = 16 + 240 = 256

Portanto:

λ 1 = - - 4 + 16 4 = 5

λ 2 = - - 4 - 16 4 = - 3

Show, então o λ pode valer 5 ou - 3 . Mas vamos dar uma olhada na nossa outra informação para vermos de fato quem é o nosso λ , ok??

Passo 3

O enunciado disse que a base - λ , 0,4 ε , 0,1 , 0 ε , 5,0 , - λ ε tem orientação negativa

Então colocando esses vetores nas linhas de uma matriz, o determinante tem que ser negativo:

- λ 0 4 0 1 0 5 0 - λ < 0

Calculando o determinante:

- λ 0 4 0 1 0 5 0 - λ - λ 0 0 1 5 0 < 0

λ 2 - 20 < 0

λ 2 < 20

Legal, o valor do λ ² não pode ser maior do que 20. Vamos ver os valores que encontramos no passo 2:

λ 1 = 5 → 5 2 = 25

λ 2 = - 3 → - 3 2 = 9

Opa, então apenas o λ 2 cumpre com λ 2 < 20

Logo, o λ que estamos procurando para cumprir as duas condições é λ = - 3 , fechou?

Resposta

λ = - 3

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Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
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Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .