Seja β uma base ortonormal de V 3 . Considere, em E 3 , o triângulo de vértices A ,   B ,   C , em que A B → = 3 , - 2,2 β e B C → = 0,1 , 1 β . A altura desse triângulo relativa ao vértice C é igual a

Passo 1

E aí gente, belezinha??

Olha só, temos um triângulo assim:

(isso é só uma forma de desenhar, se você tiver imaginado um triângulo diferente desse, não tem problema hahahaha)

O que importa aqui é que queremos encontrar a altura h , que vem do vértice C

Para isso, vamos lembrar que a área de um triângulo é metade da área do paralelogramo. E a área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial de A B → e B C → . Então

A = A B → × B C → 2

Mas também sabemos que a área de um triângulo é b a s e ∙ a l t u r a 2 , então também podemos escrever

A = A B → . h 2

Igualando as duas fórmulas, temos

A B → × B C → 2 = A B → . h 2

A B → × B C → = A B → . h

Portanto:

h = A B → × B C → A B →

Uhhhh sucesso! Então vamos lá usar isso!

Passo 2

Vamos começar encontrando A B → × B C → . Sabendo que A B → = 3 , - 2,2 β e B C → = 0,1 , 1 β , esse produto vetorial é dado pelo determinante dessa matriz:

A B → × B C → = i ^ j ^ k ^ 3 - 2 2 0 1 1

Calculando o determinante:

A B → × B C → = i ^ j ^ k ^ 3 - 2 2 0 1 1 i ^ j ^ 3 - 2 0 1

A B → × B C → = - 2 i ^ + 3 k ^ - 2 i ^ - 3 j ^

A B → × B C → = - 4 i ^ - 3 j ^ + 3 k ^

Logo, o produto vetorial vai ser

A B → × B C → = - 4 , - 3,3

E o seu módulo é

A B → × B C → = - 4 2 + - 3 2 + 3 2 = 16 + 9 + 9 = 34

Passo 3

Legal, então temos

h = A B → × B C → A B →

Onde A B → = 3 2 + - 2 2 + 2 2 = 9 + 4 + 4 = 17

Então

h = 34 17

h = 2 ∙ 17 17

h = 2 . 17 17

Então:

h = 2

Ufa! Deu bom hahahaha

Resposta

h = 2

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