Seja V um espaço vetorial de dimensão n , então é VERDADE que:

( a ) Todo subconjunto linearmente independente de V gera V .

( b ) Todo subconjunto gerador de V é linearmente independente.

( c ) Todo subconjunto de V com mais do que n vetores é linearmente dependente.

( d ) Nem todo subconjunto de V com n vetores linearmente independentes é uma base de V .

Passo 1

Vamos lá, letra por letra:

a Vou provar que essa tá errada com um exemplo:

V = R 3

α = 1,0 , 0 , 0,1 , 0

Temos que α de fato é um subconjunto de R 3 linearmente independente, no entanto sabemos que ele não é capaz de gerar o R 3 .

Passo 2

b Vou te dar um exemplo de novo:

V = R 3

α = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 2

Temos que α é um subconjunto de R 3 que gera o R 3 inteiro! No entando ele não é L I !

Passo 3

c Vamos imaginar que a alternativa é falsa. Nesse caso podemos ter um subconjunto V com mais do que n vetores que é linearmente independente.

Se temos um subconjunto com mais do que n vetores L I então esse subconjunto gera um espaço de dimensão maior que n .

Mas sabemos que a dimensão de um subconjunto está limitada à dimensão do espaço em que ele está contido. E esse subconjunto se encontra dentro do espaço vetorial V , logo sua dimensão é no máximo n .

Encontramos que a dimensão do subconjunto é maior que n e menor ou igual a n ao mesmo tempo, o que é um absurdo! Então nossa hipótese era falsa e essa letra é verdadeira!

Passo 4

Vamos verificar a d por fins de aprendizado haha. Po ela recita a definição de base e depois afirma que isso não é necessariamente uma base :p, com certeza tá errada.

Todo subconjunto do R 3 com 3 vetores L I é uma base do R 3 . Da mesma forma, todo subconjunto do R 57 com 57 vetores L I é uma base do R 57 . E, é claro que todo subconjunto de V (dimensão n ) com n vetores L I será uma base de V !

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .