Considere as seguintes informações:

  1. Se V for espaço vetorial munido de um produto interno 〈 ⋅ ,   ⋅ 〉 , S for um subespaço de V , v for elemento de S , w for um elemento de V e v , w = 0 , então w ∈ S ⊥ .
  2. Se V for um espaço vetorial munido de um produto interno e S e T forem subespaços de V , então S ⊥ + T ⊥ ⊂ S ∩ T ⊥ ;
  3. Existem números reais distintos a ,   b   e   c tais que a base 1 ,   t ,   t 2 do espaço vetorial P 2 R é ortogonal com respeito ao produto interno definido por   p , q   = p a q a + p b q b + p c q c , para todos p , q ∈ P 2 R .

Escolha uma opção:

  1. Apenas a afirmação III é verdadeira;
  2. Todas as afirmações são falsas;
  3. Apenas a afirmação II é verdadeira;
  4. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras;
  6. Todas as afirmações são verdadeiras;
  7. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras;
  8. Apenas a afirmação I é verdadeira;

Passo 1

Faaaala, galerinha, simbora analisar uma a uma.

  1. Verdadeira
  2. Quando se trata de complemento ortogonal S ⊥ de um subespaço S de V temos a definição:

    S ⊥ = {   w ∈ V   : w , v = 0 ,   ∀ v ∈ S   }

    Isto é, representa o subespaço formado por cada elemento ortogonal a todos os elementos de S .

  3. Verdadeira
  4. Sejam u ∈ S ⊥ ,   v ∈ T ⊥ , tais que:

    u , w = 0 ,     ∀ w ∈ S                                           v , z = 0 ,     ∀ z ∈ T

    Assim, todo elemento u + v ∈ S ⊥ + T ⊥ = u + v     u ∈ S ⊥ ,   v ∈ T ⊥ } é tal que para um elemento X ∈ S ∩ T , o produto interno resulta:

    u + v , X = u , X + v , X

    Contudo, u , X = 0 , uma vez que X ∈ S , e ainda v ,   X = 0 , uma vez que X ∈ T . Disto, resulta:

    u + v , X = 0 + 0 = 0 ,   ∀ X ∈ S ∩ T

    Logo, u + v ∈ S ∩ T ⊥ e, em consequência, S ⊥ + T ⊥ ⊂ S ∩ T ⊥ .

  5. Falsa

Para que a base 1 ,   t ,   t 2 do espaço vetorial P 2 R seja ortogonal com respeito ao produto interno definido por   p , q   = p a q a + p b q b + p c q c , temos que seus elementos têm de ser ortogonais. De forma que:

1 ,   t = 0 1 ,   t 2 = 0 t , t 2   = 0 ⇒ a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 0 a 3 + b 3 + c 3 = 0

Porém, a segunda equação do sistema indica que a = b = c = 0 , uma vez que para a , b , c ∈ R somam-se termos nulos ou positivos e o resultado é nulo. Assim, não há 3 inteiros reais distintos que tornem a base ortogonal.

Resposta

  1. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras;

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
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Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .