Considere os vetores de R 3

u 1 = 1 ,   1 ,   2 ,     u 2 = 2 ,   0 ,   1

(escritos na base canônica) e a transformação linear

T : R 3 → R 3 ,     T v = v . u 1 u 1 + v . u 2 u 2  

  1. Determine a matriz de T na base canônica.
  2. Determine uma base da imagem de T .
  3. Considere o plano vetorial

V : x + y + 2 z = 0

Determine uma base do subespaço T V , a imagem do plano V pela transformação linear T .

Passo 1

Show de bolinhas galera, na letra (a), queremos encontrar a matriz T na base canônica, isto é, a base canônica é 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 então queremos:

T 1 ,   0 ,   0 ,     T 0 ,   1 ,   0 ,     T 0 ,   0 ,   1

Porque encontrando essas transformações podemos juntar tudo para encontrarmos T , desse jeito:

T 1 0 0 0 1 0 0 0 1

T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = T

Belezera, sabendo disso podemos calcular esses termos.

Passo 2

A transformação T é dada por:

T v = v . u 1 u 1 + v . u 2 u 2

Onde:

u 1 = 1 ,   1 ,   2 ,     u 2 = 2 ,   0 ,   1

Então para o vetor v 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) , temos:

T 1 ,   0 ,   0 = 1 ,   0 ,   0 . 1 ,   1 ,   2 1 ,   1 ,   2 + 1 ,   0 ,   0 . 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1

Logo:

T 1 ,   0 ,   0 = 1 1 ,   1 ,   2 + 2 2 ,   0 ,   1 = 5 ,   1 ,   4

Para o vetor v 2 = 0   1 ,   0 :

T 0   1 ,   0 = 0   1 ,   0 . 1 ,   1 ,   2 1 ,   1 ,   2 + 0   1 ,   0 . 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1

T 0,1 , 0 = 1 1 ,   1 ,   2 + 0 2 ,   0 ,   1 = 1 ,   1 ,   2

E para v 3 = 0 ,   0 ,   1 :

T 0 ,   0 ,   1 = 0 ,   0 ,   1 . 1 ,   1 ,   2 1 ,   1 ,   2 + 0 ,   0 ,   1 . 2 ,   0 ,   1 2 ,   0 ,   1

T 0 ,   0 ,   1 = 2 1 ,   1 ,   2 + 1 2 ,   0 ,   1 = 4 ,   2 ,   5

Portanto, nossa matriz T é:

T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 5 1 4 1 1 2 4 2 5

T = 5 1 4 1 1 2 4 2 5

Passo 3

Na letra (b), a imagem de uma matriz sempre é gerada pelas suas colunas linearmente independentes, então escalonando nossa matriz, temos que:

5 1 4 1 1 2 4 2 5 ⇒ L 1 = L 1 - 5 L 2   L 3 = L 3 - 4 L 1 = 0 - 4 - 6 1 1 2 0 - 2 - 3

Logo, a primeira e a última linha são múltiplas uma da outra, isso quer dizer que podemos retirar uma dessa linhas, e em consequência disso, se temos apenas duas linhas L.I, vamos ter também duas colunas L.I. Vamos pegar a primeira e a segunda coluna:

5 ,   1 ,   4         e         1 ,   1 ,   2

Logo, a imagem é gerada por esses dois vetores. E fazendo o produto vetorial entre eles conseguimos descobrir a equação do plano que esses vetores geram, saca só:

i j k 5 1 4 1 1 2 = - 2 ,   - 6 ,   4

Logo, esse vetor resultando vai ser os coeficientes do nosso plano, desse jeito:

- 2 x - 6 y + 4 z = 0

E dividindo tudo por - 2 :

x + 3 y - 2 z = 0

Esse é o nosso plano que é a Imagem.

Passo 4

E na nossa letra (c), precisamos encontrar uma base para a Imagem de T ( V ) dado que V é o plano vetorial:

V : x + y + 2 z = 0

Então primeiro vamos encontrar a base de V . Pra fazer isso, bora colocar os termos em evidência:

x + y + 2 z = 0

x = - y - 2 z

Portanto:

x ,   y ,   z = - y - 2 z ,   y ,   z

E separando as variáveis, temos:

x ,   y ,   z = y - 1 ,   1 ,   0 + z - 2 ,   0 ,   1

Portanto uma base para o plano V é:

V = - 1 ,   1 ,   0 ,   - 2 ,   0 ,   1

Passo 5

Então agora podemos de fato realizar a operação T V , vamos realizar a operação pra cada vetor da base, desse jeito:

T - 1 ,   1 ,   0 = 5 1 4 1 1 2 4 2 5 - 1 1 0 = 4 0 2

T 2 ,   0 ,   - 1 = 5 1 4 1 1 2 4 2 5 2 0 - 1 = 6 0 3

E é ai que ta a malícia, porque esses dois vetores resultantes são paralelos, podemos reescrever em função de um parâmetro t :

2 t ,   0 ,   t = 4 ,   0 ,   2 ,         p a r a   t = 2

2 t ,   0 ,   t = 6 ,   0 ,   3 ,         p a r a   t = 3

Portanto os dois vetores resultantes de T V pertencem a reta gerada por 2 ,   0 ,   1 , logo essa reta é a Imagem, e uma base para essa imagem é:

2 ,   0 ,   1

Resposta

  1. T = 5 1 4 1 1 2 4 2 5
  2. x + 3 y - 2 z = 0
  3. 2 ,   0 ,   1

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .