Considere os vetores v → = 1,1 , 0 ,   w → = ( - 1,1 , 0 ) , o plano

π : X = 1,1 , 0 + λ v → + μ w → ,     λ ,   μ   ∈ R

E a base B = v → , w → , v → ∧ w → de V 3 . Uma equação geral para o plano π no sistema de coordenadas ( O , B ) é:

a )   z = 0 ;

b )   x + y + z = 0 ;

c )   x - y - z + 2 = 0 ;

d )   x + y = 0 ;

e )   x + y + z - 1 = 0 .

Passo 1

Falaaaa, beleza??? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova, agora envolvendo plano e uma base.

Para começar, vamos lembrar que quando temos uma equação de plano do tipo:

π : X = a , b , c + λ v → + μ w → ,     λ ,   μ   ∈ R

Ela está nos dizendo que ( a , b , c )   ∈ π e v → ,   w → são vetores paralelos ao plano.

Agora, veja que as alternativas nos dão planos com a equação no estilo:

π :     a x + b y + c z = d

E nesse tipo de equação temos que a , b , c ⊥ π

Ou seja, nossa ideia é sair da equação do plano escrita a partir dos vetores paralelos e chegar na equação do plano escrita a partir de um vetor normal ao plano

Passo 2

Para chegar em um vetor normal ao plano, tendo vetores paralelos, podemos usar uma ideia bem comum nesse tipo de questão, consegue lembrar?

Para isso, usaremos que n → =   v → ∧ w → é perpendicular a v → , w → , ou seja, perpendicular ao plano.

Ou seja, temos que: n → = i j k 1 1 0 - 1 1 0

Por Laplace na primeira linha, temos que:

n → = i 1 0 1 0 - j 1 0 - 1 0 + k 1 1 - 1 1

Ou seja

n → = ( 0,0 , 2 )

Passo 3

Agora, vamos notar que B = v → , w → , v → ∧ w → = v → , w → , n →  

E quando fizermos o vetor 0,0 , 2 c a n o n i c a na base B, na verdade, será 0,0 , 1 B , pois:

0,0 , 2 = 0 v → + 0 w → + 1 n → = 0,0 , 1 B

Ou seja, nosso plano é do tipo:

0 x + 0 y + 1 z = d

Ou ainda:

z = d

Porém, veja que ( 1,0 , 0 ) ∈ π , usando que:

1,0 , 0 = 1 2 v → - 1 2 w → + 0 n → = 1 2 , 1 2 , 0 B

Por isso, podemos colocar esse carinha na equação z = d , achando que d = 0 , por isso, chegamos em:

z = 0

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .