Se F = v 1 , v 2 , v 3 é um conjunto gerador de S , onde S é o conjunto de soluções de

- 2 x + 2 y + 2 z + 2 w = 0                                                                 2 y + 2 w = 0

então:

( a ) F pode ser 2,0 , 2,0 , 1,1 , 1,1 , 4,0 , 4,0 .

( b ) F pode ser 2,0 , 2,0 , 0 , - 2,0 , 2 , 2 , - 2,2 , 2 .

( c ) F pode ser 0 , - 2,0 , 2 , 2,2 , 2,2 , 0,2 , 0 , - 2 .

( d ) Qualquer dois vetores de F formam uma base para S .

Passo 1

Vamos descobrir quem é S então né:

- 2 x + 2 y + 2 z + 2 w = 0 2 y + 2 w = 0       I I I

De I I temos que:

2 y = - 2 w

y = - w

Substituindo em I :

- 2 x - 2 w + 2 z + 2 w = 0

- 2 x + 2 z = 0

x = z

Então nosso S é dado por:

S = x , - w , x , w = x 1,0 , 1,0 + w 0 , - 1,0 , 1 = 1,0 , 1,0 , 0 , - 1,0 , 1

Ou seja, os vetores de S tem a primeira e terceira coordenadas iguais e a segunda e quarta coordenadas opostas! A única letra que garante isso é a b .

Passo 2

Ta, mas e a d ? Bom, ela diz que quaisquer dois vetores de F formam uma base para S . De fato, a base de S tem dois vetores, mas será que quaisquer dois vetores servem? Vamos imaginar que F é definido por:

F = 1,0 , 1,0 , 0 , - 1,0 , 1 , 2,0 , 2,0

Concorda que o conjunto F gera S ? Ele tem os dois vetores que encontramos no passo 1 e mais um múltiplo deles. Agora vamos pegar dois vetores de F :

1,0 , 1,0 , 2,0 , 2,0

Opa, esses vetores não geram S não né! Na verdade eles geram apenas uma reta. Então podemos ver que não são quaisquer dois vetores de F que formam uma base para S .

Resposta

Letra ( b )

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .