Seja β uma base ortonormal de V 3 . Considere os vetores

x → = 2,2 , 1 β

u → = 1,0 , 1 β

v → = 0 , - 1,1 β

Sejam y → ,   z → ∈ V 3 tais que

- x → = y → + z →

- { u → , v → , y → } é linearmente dependente, e

- z → é ortogonal a u → e a v →

Se z → = a , b , c β , então a + b + c é igual a

Passo 1

Oiii gente, vamos lá que vai dar tudo certo 😊

Nós temos uma base β no espaço V 3 , e conhecemos 3 vetores desse espaço:

x → = 2,2 , 1 β

u → = 1,0 , 1 β

v → = 0 , - 1,1 β

Mas agora queremos encontrar a ,   b e c , que são as coordenadas do vetor:

z → = a , b , c β

Caaalma que o exercício também não é doido de deixar a gente sem informação nenhuma hahahaha vamos usar os dados que ele deu para encontrarmos o a ,   b e c

- x → = y → + z → → 2,2 , 1 = d , e , f + ( a , b , c )

- { u → , v → , y → } é linearmente dependente

- z → é ortogonal a u → e a v → → z → , u → = 0 , z → , v → = 0

Então vamos lá usar isso a nosso favor :P

Passo 2

Vamos começar pela primeira informação:

x → = y → + z →

Chamando y → = ( d , e , f ) e z → = ( a , b , c ) , temos:

2,2 , 1 = d , e , f + a , b , c

2,2 , 1 = d + a , e + b , f + c

Igualando as coordenadas, temos

d + a = 2 e + b = 2 f + c = 1

Beleza, vamos guardar isso em um potinho e daqui a pouco a gente usa hahahaha

Passo 3

Usando a terceira informação, temos que o z → é ortogonal tanto a u → quanto a v →

Então o produto escalar deles tem que ser 0 , certo??

Show, então vamos começar com u → :

z → , u → = 0

a , b , c . 1,0 , 1 = 0

a + c = 0

c = - a

E agora para o v → :

z → , v → = 0

a , b , c . 0 , - 1,1 = 0

- b + c = 0

c = b

Opa, já sabemos que c = - a = b

Então

z → = a , b , c = - c , c , c

Isso já foi mega valioso hahahahhaa sabemos que as coordenadas a , b , c têm o mesmo valor em módulo, mas o que muda é o sinal

Agora vamos pra informação que falta pra aí descobrirmos quem são esses valores

Passo 4

Usando a segunda informação agora, temos que o conjunto { u → , v → , y → } . Bem, se eles são LI, o determinante da matriz formada por esses 3 vetores (nas linhas) tem que ser 0 :

⇐ u → ⇒ ⇐ v → ⇒ ⇐ y → ⇒ = 0

1 0 1 0 - 1 1 d e f = 0

Showww! Então calculando esse determinante:

1 0 1 0 - 1 1 d e f 1 0 0 - 1 d e = 0

- f + d - e = 0

Legal, então já temos mais uma relação olha:

d = e + f

Passo 5

Agora vamos buscar aquela informação que a gente guardou no potinho lááá no passo 2:

d + a = 2 e + b = 2 f + c = 1

Agora já temos muita informação pra substituir nesse sistema hahahaha

Já sabemos que a = - c e b = c :

d - c = 2 e + c = 2 f + c = 1

E também sabemos que d = e + f :

e + f - c = 2 e + c = 2 f + c = 1

Isolando f na terceira equação, temos que

f = 1 - c

Substituindo na primeira equação, conseguimos ficar só com 2 equações e 2 incógnitas no sistema:

e + 1 - c - c = 2 e + c = 2

e - 2 c = 1 e + c = 2

Opaaaa! Então subtraindo essas duas equações, ficamos com

e - e - 2 c - c = 1 - 2

- 3 c = - 1

Portanto:

c = 1 3

Passo 6

Ai socorro ta acabando

Se c = 1 3 , já sabemos que

a = - 1 3

b = 1 3

Porque lá do passo 3, temos que c = - a = b

Então, o vetor z → pode ser escrito assim:

z → = a , b , c = - c , c , c = - 1 3 , 1 3 , 1 3

E como o enunciado pediu a soma das 3 coordenadas, temos:

- 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 3

E acabamoooos hahahaaha

Resposta

1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .