Encontre a matriz de mudança de base da base β = 1 - 2 t + t 2 ; 3 - 5 t + 4 t 2 ; 2 t + 3 t 2 para a base canônica C = 1 , t , t 2 , e a matriz mudança de base da base canônica C para a base β

Passo 1

E aí pessoal, belezinha?

Nesse exercício, vamos encontrar a matriz de mudança de base de β para a base canônica e depois da base canônica para β

Para fazermos isso, vamos seguir esses passos olha:

1 – Escrever os elementos da base antiga na nova base

2 – Colocar esses elementos nas colunas de uma matriz

E pronto! Hahahaha é mais simples do que parece, vamos lá

Passo 2

Temos a base β = 1 - 2 t + t 2 ; 3 - 5 t + 4 t 2 ; 2 t + 3 t 2 e queremos encontrar a matriz de mudança de base para a base canônica C = 1 , t , t 2

Vamos começar escrevendo os elementos de β na base canônica:

1 - 2 t + t 2 = 1 ∙ 1 + - 2 ∙ t + 1 ∙ t 2 = 1 - 2   1

3 - 5 t + 4 t 2 = 3 ∙ 1 + - 5 ∙ t + 4 ∙ t 2 = 3 - 5   4

0 + 2 t + 3 t 2 = 0 ∙ 1 + 2 ∙ t + 3 ∙ t 2 = 0     2     3

(repara que como estamos indo para a base canônica, que é a base padrão desse espaço, os elementos escritos nessa base são eles mesmos heheehe)

Então, colocando isso nas colunas de uma matriz, temos a matriz de mudança de base de β para C :

M C β = 1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3

Fechou?

Passo 3

Agora queremos encontrar a matriz de mudança de base de C = { 1 , t , t 2 } para β = 1 - 2 t + t 2 ; 3 - 5 t + 4 t 2 ; 2 t + 3 t 2

Como já temos a matriz de mudança de base de β para C , basta invertemos essa matriz hehehe

Então:

M β C = M C β - 1

M β C = 1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3 - 1

Para invertermos a matriz, vamos expandir uma matriz identidade ao lado dela. Aí vamos escalonar as duas até que a nossa matriz 1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3 vire a matriz identidade, beleza?

Aí a matriz inversa vai ser a matriz identidade depois de ser escalonada. Vamos lá!

1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 3 0 0 1 2 0 1 3 1 0 0 2 1 0 - 1 0 1

1 3 0 0 1 2 0 1 3 1 0 0 2 1 0 - 1 0 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 3 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 2 1 0 - 3 - 1 1

1 3 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 2 1 0 - 3 - 1 1 → L 2 → L 2 - 2 L 3 1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 8 3 - 2 - 3 - 1 1

E por fim:

1 3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 8 3 - 2 - 3 - 1 1 → L 1 → L 1 - 3 L 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 23 - 9 6 8 3 - 2 - 3 - 1 1

Showww, então a matriz da esquerda virou a nossa matriz identidade e a da direita virou a inversa. Portanto:

M β C = 1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3 - 1 = - 23 - 9 6 8 3 - 2 - 3 - 1 1

Arrasamos!

Resposta

M C β = 1 3 0 - 2 - 5 2 1 4 3

M β C = - 23 - 9 6 8 3 - 2 - 3 - 1 1

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