Mostrar que o conjunto

2 3 - 1 0 ,   1 - 1 0 - 2 ,   - 3 - 2 1 - 1 ,   3 - 7 - 2 5

É uma base de M 2 × 2 .

Passo 1

Como as matrizes já são do tipo 2 × 2 , basta só verificar que o conjunto é L I , pois, consequentemente, espaço gerado desse conjunto dará todas as matrizes 2 × 2 .

a 2 3 - 1 0 + b 1 - 1 0 - 2 + c - 3 - 2 1 - 1 + d 3 - 7 - 2 5 = 0 ⇒

2 a + b - 3 c + 3 d = 0 3 a - b - 2 c - 7 d = 0 - a + c - 2 d = 0 - 2 b - c + 5 d = 0

Bom esse sistema ficou meio grande, né? Acho que a melhor forma de resolvê-lo é por escalonamento. Para isso vamos passar para a forma matricial:

2 1 - 3 3 3 - 1 - 2 - 7 - 1 0 1 - 2 0 - 2 - 1 5 ⋅ a b c d = 0

Passo 2

Se você fizer o escalonamento da matriz dos coeficientes desse sistema, veremos que dá:

2 1 - 3 3 0 - 5 2 5 2 - 23 2 0 0 - 3 71 5 0 0 0 - 14 5 ⋅ a b c d = 0 ⇒

2 a + b - 3 c + 3 d = 0 ⇒ 2 a = 0 ⇒ a = 0 - 5 2 b + 5 2 c - 23 2 d = 0 ⇒ - 5 2 b = 0 ⇒ b = 0 - 3 c + 71 5 d = 0 ⇒ - 3 c = 0 ⇒ c = 0 - 14 5 d = 0 ⇒ d = 0

E como podemos ver, de fato o conjunto forma uma base para M 2 × 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .