Seja ξ uma base de V 3 ,   a um número real e sejam v → , w → e z → os vetores definidos por:

v → = 2,0 , 1 ξ ,     w → = - 1,0 , 2 ξ ,     e     z → = 0 , a , 1 ξ .

Considere as seguintes informações:

  1. v → e w → são ortogonais;
  2. O conjunto v → ,   w → ,   v - p r o j v →   w → não é uma base de V 3 ;
  3. Se z → não é ortogonal nem a v → nem a w → , então o conjunto

p r o j v →   z → ,   p r o j w →   z → ,   z →

É linearmente dependente se, e somente se, a = 0

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as informações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
  2. Nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
  3. Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
  4. Apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Vamos começar verificando se as informações são verdadeiras ou não.

Antes, vamos relembrar algumas coisas que podem nos ajudar:

- se o produto interno convencional de dois vetores é nulo, então eles são ortogonais

- se p r o j x →   y → = 0 então o conjunto de três vetores contendo x → e y → tem dimensão 2.

- Para ser uma base, precisamos ter dimensão 3 de vetores linearmente independentes.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Agora para a informação 1:

v → e w → são ortogonais.

Tomando o produto interno convencional (atente-se aqui) v → ∙ w →

2,0 , 1 ξ ∙ - 1,0 , 2 ξ = - 2 + 2 = 0

E assim provamos que é ortogonal. Outra forma é sabermos que o produto interno pode ser dado por:

v → × w → × cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo entre eles, se essa multiplicação é nula, então θ = 90 ° ou 270 ° , ou seja v →     w → são ortogonais.

Passo 3

Agora para a informação 2:

O conjunto v → ,   w → ,   v - p r o j v →   w → não é uma base de V 3 .

Antes, vamos achar p r o j v →     w → ,   isto é, a projeção de w em relação a v:

p r o j v →     w → = w → ∙ v → v → 2   v →  

Mas provamos na demonstração anterior que w → ∙ v → = 0 , assim:

p r o j v →     w → = 0

De modo que v → ,   w → ,   v - p r o j v →   w → = v → , w → tem dimensão 2, e assim não é base.

De modo que a informação 2 é verdadeira.

Passo 4

Agora para a informação 3:

Se z → não é ortogonal nem a v → nem a w → , então o conjunto

p r o j v →   z → ,   p r o j w →   z → ,   z →

É linearmente dependente se, e somente se, a = 0

Se z → não é ortogonal a w → e v →   então a projeção não é nula, então vamos ver:

p r o j w →   z → = 0 , a , 1 ∙ 2,0 , 1 2,0 , 1   2,0 , 1 = 5 5 2,0 , 1

p r o j   v → →   z → = 0 , a , 1 ∙ - 1,0 , 2 - 1,0 , 2   - 1,0 , 2 = 2 5 5   - 1,0 , 2

Veja que ambas as projeções não dependem de a . Assim o conjunto é:

5 5 2,0 , 1 ,   2 5 5 - 1,0 , 2 ,     0 , a , 1

- 1 0 2 0 a 1 2 0 1 = 0 → - 5 a = 0 → a = 0

De modo que a informação 3 é verdadeira

Passo 5

Lembra da informação que tivemos quando conferimos a informação 1?

O produto interno convencional não é geral, logo pode não ser necessariamente verdadeiro.

Assim somente as informações II e III são necessariamente verdadeiras.

A resposta é a letra e)

Resposta

Letra e)

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .