Dadas as matrizes

A =   1 0 0 0 ,         B = 1 2 0 1 ,         C = 0 0 1 0 ,         D = 0 2 1 1

Considere as seguintes afirmações:

I   S ã o   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e s ;  

I I   G e r a m   u m   s u b e s p a ç o   d e   M 2 R   d e   d i m e n s ã o   3 ;

I I I   F o r m a m   u m a   b a s e   d e   M 2 R .

Passo 1

Falaaa ai,blz???? Vamos começar essa questão lembrando o conceito principal sobre a afirmação (I):

Lembraremos que as 4 matrizes são linearmente independentes se não conseguimos montar uma combinação linear tal que uma delas seja combinação das outras.

Ou ainda, seja α , β , γ , δ   ∈ R   →   α A + β B + γ C + δ D = 0   ↔   α = β = γ = δ = 0

Vamos ver se isso procede, tomando α , β , γ , δ   ∈ R :

α A + β B + γ C + δ D = 0  

α 1 0 0 0 +   β 1 2 0 1 + γ 0 0 1 0 + δ 0 2 1 1 = 0 =   0 0 0 0

α + β 2 β + 2 δ γ + δ β + δ =   0 0 0 0

Ajustando:

α + β = 0 2 β + 2 δ = 0 γ + δ = 0 β + δ = 0

Veja que é fácil conseguir uma solução para esse sistema, basta tomar α = 1

Da primeira equação tiramos que β =   - 1

Da quarta equação tiramos que δ = 1

Da terceira tiramos que γ =   - 1

Ou seja, A - B - C + D = 0   com α ≠ 0 ,     β ≠ 0 ,   γ ≠ 0   e   δ ≠ 0 , então não são L.I.

Passo 2

Para a afirmação (II) vamos tomar duas motivações:

A primeira é, para o espaço gerado pelas matrizes ter dimensão 3, ele deve ser gerado por 3 elementos dele, nesse caso 3 matrizes. Ou seja, queremos 3 das 4 matrizes citadas sejam L.I.

A segunda motivação vem do sistema:

α + β = 0 2 β + 2 δ = 0 γ + δ = 0 β + δ = 0

Veja que a segunda equação e a terceira são equivalentes, o que nos faz refletir sobre os escalares β   e   δ . A priori, parece que o problema para as 4 matrizes não serem L.I é referente a essas duas equações, e portanto, B e D (pois β tá relacionado com B e δ com D).

Vimos que:

A - B - C + D = 0 ,   l o g o :

B = A - C + D

Ou seja, o espaço gerado por (A,B,C,D) é o mesmo que o espaço gerado por (A,C,D)

Além disso, (A,C,D) são L.I, basta fazer o mesmo processo anterior:

α A + γ C + δ D = 0

α 1 0 0 0 + γ 0 0 1 0 + δ 0 2 1 1 =   0 0 0 0

α = 0                       2 δ = 0                   γ   + δ = 0    

Logo α = γ = δ = 0

Ou seja, o espaço gerado por ( A , B , C ) tem dimensão 3 e é subespaço de M 2 R .

Passo 3

A afirmação (III) é direta, tendo em vista que já foi dito na afirmação (I) que as 4 matrizes não são L.I

Resposta

Apenas a segunda é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .