Seja A B C um triângulo equilátero de lado unitário no espaço E 3 e seja v → ∈ V 3 um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores A B →   e   A C → . Se

w → = 2 A B → + A C → + 2 v →       e       z → = A B → + A C →

Então as coordenadas de p r o j z → w → na base A B → , A C → , v → são:

a )   4 3 , 4 3 , 0

b )   4,4 , 0

c )   2,1 , 3

d )   3 2 , 3 2 , 0

e )   - 1,2 , 0

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova.

Nesse exercício temos um triângulo A B C equilátero e com lados de tamanho unitário. Daí, tomando v → um vetor que é perpendicular aos lados A B e A C , podemos definir dois outros vetores:

w → = 2 A B → + A C → + 2 v →       e       z → = A B → + A C →

O objetivo é que calculemos a projeção de w → em z → , mas escrita na base A B → , A C → , v → . Sacou?

Veja que essa questão nos fala sobre alguns vetores e a projeção, para entender o que temos que fazer bora escrever a fórmula para calcular projeções. Vamos usar que:

p r o j z → w → = z → , w → z → 2 z →

Ou seja, substituindo temos que:

p r o j z → w → = A B → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v → A B → + A C → 2 A B → + A C →

Então agora fica mais claro o que precisamos fazer, veja que para resolver essa continha temos que escrever algumas propriedades de produto interno, bora lembrar?

i )   λ v → , α u → = λ α v → , u →

i i )   u → + v → ,   w → = u → , w → + v → , w →

i i i )   v → , u → = u → , v →

Passo 2

Bora primeiro ajustando o numerador:

Usaremos i i ) na primeira parte:

A B → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v → =     A B → , 2 A B → + A C → + 2 v → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v →

Agora usando as duas ao mesmo tempo:

= 2 A B → , A B → + A B → , A C → + 2 A B → , v → + 2 A C → , A B → + A C → , A C → + 2 A C → , v →

Ou seja, usando ( i i i ) e somando:

= 2 A B → , A B → + 3 A B → , A C → + 2 A B → , v → + A C → , A C → + 2 A C → , v →  

Agora, perceba que pelo enunciado v → ⊥ A B →   e   A C → , ou seja o produto interno entre esses caras é nulo, bora ajustar a equação usando isso:

= 2 A B → , A B → + 3 A B → , A C → + A C → , A C →    

Vamos usar que u → , u → = u → 2 e que os vetores da questão são todos unitários, ou seja:

2 A B → , A B → = 2   e   A C → , A C → = 1  

Substituindo:

A B → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v → = 3 + 3 A B → , A C →  

Passo 3

Agora, como A B C forma um triângulo equilátero, temos que o ângulo entre os lados é de 60 º , ou seja, temos que:

A B → , A C → = A B → A C → cos ⁡ 60 º  

E por isso, temos que A B → , A C → = 1 2

Ou seja:

A B → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v → = 3 + 3 2 = 9 2

Agora podemos voltar para o começo usando esse valor, lembrando que:

p r o j z → w → = A B → + A C → , 2 A B → + A C → + 2 v → A B → + A C → 2 A B → + A C →

Ou seja:

p r o j z → w → = 9 2 A B → + A C → 2 A B → + A C →

Agora, vamos notar o seguinte:

Nós temos, olhando para figura, que A B → + A C → =   A D → ,porém nosso objetivo é achar o tamanho desse segmento A D .

Veja que temos um triângulo A C D de ângulos 30,30,120 . Nesse caso, podemos usar a lei dos cossenos para calcular o tamanho de A D .

A D 2 = | A B | 2 + | A C | 2 - 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ c o s ⁡ ( 120 ° )

Como o triângulo A B C possui lados unitários, temos:

A D 2 = 1 2 + 1 2 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ - 1 2

∴ A D 2 = 3

Portanto, temos que A D vale 3 , ou seja:

A B → + A C → = 3

E por isso, temos que:

p r o j z → w → = 9 2 3 2 A B → + A C → = 3 2 A B → + 3 2 A C → + 0 v →  

Por isso, p r o j z → w → na base dada é ( 3 2 , 3 2 , 0 )

Resposta

Letra D

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .