Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno . , .   e considere as seguintes afirmações:

I )   Se e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de V e se v ∈ V é tal que v , e i = 0 , para i = 1,2 , . . , n , então v = 0

I I ) Se S é um subespaço de V e se e 1 , e 2 , … ,   e m   ∈ S são vetores dois a dois distintos tais que e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de S, então

p r o j S   v = p r o j e 1 v + p r o j e 2 v + … + p r o j e n v

Para qualquer v ∈ V

I I I )   Se v , w   ∈ V , λ ∈ R , v ≠ 0 e λ ≠ 0 , então:

p r o j λ v   w = λ   p r o j v   w

Assinale a alternativa correta:

a )   Apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras

b )   Apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras

c )   Apenas as afirmações I I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras

d ) Apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira

e ) Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

Passo 1

Faaaalaa, bllzz?? Bora começar mais uma provinha de álgebra linear II, dessa vez começamos com um problema envolvendo bases de um espaço, munido de produto interno, e algumas projeçõezinhas.

Bom, bora começar pela primeira afirmação.

I )   Se e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de V e se v ∈ V é tal que v , e i = 0 , para i = 1,2 , . . , n , então v = 0

A motivação nesse problema é, ao meu ver, usar que v 2 = v , v , pois caso v = 0 , sabemos que v = 0 , além disso o problema diz sobre produto escalar, então faz sentido buscar isso.

Primeiro vamos notar que se e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de V, podemos escrever v como combinação linear desses carinhas, ou seja, existem a 1 , a 2 , … ,   a n ∈ R tais que:

v = a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n

Usando isso, vamos notar que de v 2 = v , v tiramos:

v 2 = v , a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n

Agora, usando propriedadeszinhas de produto interno, mais especificamente:

u , w + z = u , w + u , z

u , α w = α u , w

Usando isso, chegamos que:

v 2 = v , a 1 e 1 + v , a 2 e 2 + … + v , a n e n

Ou ainda

v 2 = a 1 v , e 1 + a 2 v , e 2 + … + a n v , e n

Porém, pelo enunciado v , e i = 0 , para i = 1,2 , . . , n . Ou seja:

v 2 = 0

Por isso

v = 0

Afirmação verdadeira.

Passo 2

Passo 3

Agora vamos para a próxima afirmaçãozinha:

I I ) Se S é um subespaço de V e se e 1 , e 2 , … ,   e m   ∈ S são vetores dois a dois distintos tais que e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de S, então

p r o j S   v = p r o j e 1 v + p r o j e 2 v + … + p r o j e n v

Para qualquer v ∈ V

Essa aqui é uma questão clássica que aparece dessa matéria, ela tenta enganar a gente. Nela, vamos usar a afirmação verdadeira que é:

Se { w 1 , w 2 , … ,   w n } é uma base ortogonal de W , então:

p r o j W v = p r o j w 1 v + p r o j w 2 v + … + p r o j w n v

Essa afirmação é verdadeira, porém no enunciado ele só diz que “ e 1 , e 2 , … ,   e n é uma base de S”, não diz sobre sua ortogonalidade.

Para mostrar que é falso, vamos tomar:

S = 1,0 , ( 0,1 ) , onde 1,0 , ( 0,1 ) é uma base ortogonal, pela nossa afirmação:

p r o j S   v = p r o j ( 1,0 )   v + p r o j ( 0,1 )   v

Podemos fazer essa conta, tomando por exemplo v = ( 1,2 ) e usando que p r o j w v = v ∙ w w 2 w , porém nesse caso, como S está sobre a base canônica, podemos só notar que a projeção de um vetor ( 1,2 ) sobre o espaço gerado pela base canônica é o próprio ( 1,2 ) . Como foi dito, fazendo a conta daria a mesma coisa, porém não há necessidade.

Agora vamos usar o que está no enunciado sendo verdadeiro e ver o que ocorre:

p r o j S   v = p r o j ( 1 , 1 )   v + p r o j ( 0,1 ) v  

Ou seja, aplicando na formulinha de projeção:

p r o j 1,1   v = 3 2 1,1

p r o j ( 0,1 ) v = 2 1 0,1

Ou seja, achamos que p r o j S   v = 1,1 3 2 + 2 0,1

O primeiro resultado nos deu que p r o j S   v = 1,2 e o outro deu isso acima, ou seja, achamos dois valores distintos para a projeção de v sobre S, porém isso é um absurdo, uma vez que não importa qual a base estamos olhando, a projeção sobre S é a mesma, ou seja, a afirmação tá errada.

Passo 4

Bora acabar essa questãozinha olhando a última afirmação:

I I I )   Se v , w   ∈ V , λ ∈ R , v ≠ 0 e λ ≠ 0 , então:

p r o j λ v   w = λ   p r o j v   w

Para fazer essa questão, vamos usar a fórmula de projeção do lado esquerdo da igualdade e ver o que aparece. Usaremos que p r o j w v = v ∙ w w 2 w

p r o j λ v   w = w ∙ λ v λ v 2 λ v

Agora, usaremos as seguintes propriedades:

v ∙ α u = α ( v ∙ u )

λ v 2 = λ 2 v 2

Voltando:

p r o j λ v   w = λ w ∙ v λ 2 v 2 λ v

Ou seja:

p r o j λ v   w = w ∙ v v 2 v

Daqui, achamos que p r o j λ v   w =     p r o j v   w ≠ λ   p r o j v   w

Por isso a afirmação é falsa.

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .