Seja V um espaço vetorial e S = { v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → ,   v 4 → } um conjunto de vetores de V , todos distintos entre si.

Sejam A = { v 1 → ,   v 2 → } e B = { v 3 → ,   v 4 → } .

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

( a ) Se S é um conjunto linearmente independente ( L I ), então A é um conjunto linearmente independente ( L I ) e B é um conjunto linearmente independente ( L I )

( b ) Se S é um conjunto gerador de V , então A é um conjunto gerador de V e B é um conjunto gerador de V

( c ) Se S é um conjunto linearmente independente ( L I ), ou A é um conjunto linearmente independente ( L I ), ou B é um conjunto linearmente independente ( L I ), mas não ambos.

( d ) Se S é um conjunto gerador de V , então: ou A é um conjunto gerador de V , ou B é um conjunto gerador de V , mas não ambos.

Passo 1

É, parece que teremos que olhar uma a uma! : (

Vamos lá.

Na letra ( a ) , o conjunto S é L I .

Isso significa que nenhum vetor é combinação linear do outro.

Portanto:

  • v 1 → não é combinação linear de v 2 → , nem vice-versa. Então o conjuto A tem que ser L I , pois A só tem esses dois vetores!
  • v 3 → não é combinação linear de v 4 → nem vice-versa. Então o conjunto B tem que ser L I , pois B só tem esses dois vetores!

Então a letra ( a ) é verdadeira!

(Mas vamos ainda descobrir se realmente as outras são falsas...)

Passo 2

Na letra ( b ) , o conjunto S é conjunto gerador de V .

Isso não diz se S é L I ou L D , apenas que ele gera V .

Se S for L I , por exemplo, S é uma base de V . Isso significa que, qualquer vetor que eu tire da base, aquele conjunto lá não vai mais gerar V .

Então, se tirarmos os vetores v 3 → e v 4 → , teremos o conjunto A , e ele não vai mais gerar V , e sim um outro espaço menor.

Então essa não pode ser verdadeira, pois nem sempre o A vai ser gerador de V (nem o B , analogamente).

Passo 3

Na letra ( c ) , o conjunto S é L I .

Como já vimos lá no passo 1 , tanto A como B tem que ser L I , obrigatoriamente.

Então o “mas não ambos” no final da afirmação diz que os dois não podem ser L I .

Esse aí tem que ser falsa, então.

Passo 4

Na letra ( d ) , o conjunto S é gerador de V .

No passo 2 já vimos que pode acontecer de nem o A nem o B serem conjuntos geradores de V (que é o caso em que S é L I ).

Falsa.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que u → = 0 ⇔ u → = 0 ,0 ,0 E .