Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Passo 1

A direção em que temos a taxa mais rápida de crescimento de uma função é a direção do vetor gradiente.

Então, para termos a taxa mais rápido de decrescimento, devemos seguir a direção de MENOS o vetor gradiente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor gradiente é

f x , y , z = 2 - x - y 2 + 3 x + 2 y - z + 1 2

f x = 2 2 - x - y ∙ - 1 + 2 3 x + 2 y - z + 1 ∙ 3 = - 4 + 2 x + 2 y + 18 x + 12 y - 6 z + 6

f x = 20 x + 14 y - 6 z + 2

f y = 2 2 - x - y ∙ - 1 + 2 3 x + 2 y - z + 1 ∙ 2 = - 4 + 2 x + 2 y + 12 x + 8 y - 4 z + 4

f y = 14 x + 10 y - 4 z

f z = 2 3 x + 2 y - z + 1 ∙ - 1 = - 6 x - 4 y + 2 z - 2

∇ f = f x , f y , f z = 20 x + 14 y - 6 z + 2 ,   14 x + 10 y - 4 z , - 6 x - 4 y + 2 z - 2

Agora colocando o sinal de menos:

- ∇ f = - f x , - f y , - f z = - 20 x - 14 y + 6 z - 2 ,   - 14 x - 10 y + 4 z , 6 x + 4 y - 2 z + 2

Substituindo no ponto ( 0,0 , 0 ) :

- ∇ f 0,0 , 0 = - 2 , 0 , 2

Resposta

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