Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Ver Teoria

Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto P , na direção do ponto Q .

a)

f x , y = x 2 y 2 - y 3 ,   P 1,2 ,   Q - 3,5

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de f x , y num ponto P 1,2 em direção ao ponto Q - 3,5 .

Por definição, temos que a derivada direcional de f num ponto x , y na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u f x , y = ∇ f x , y ∙ u →

No nosso caso, precisamos encontrar nosso vetor u → :

u → = Q - P ∴

u → = - 3 - 1 ,   5 - 2 ∴

u → = - 4,3

Normalizando nosso vetor, temos:

u → = - 4,3 - 4 2 + 3 2 = - 4,3 5

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f x , y = x 2 y 2 - y 3 :

f x = 2 x y 2

f y = 2 x 2 y - 3 y 2

Logo, o vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y = 2 x y 2 , 2 x 2 y - 3 y 2

Logo, no ponto P , temos:

∇ f 1,2 = 2 * 1 * 2 2 , 2 * 1 2 * 2 - 3 * 2 2 ∴

∇ f 1,2 = 8 , - 8

Assim, aplicando na derivada direcional no ponto P na direção do ponto Q , obtemos:

D u f 1,2 = 8 , - 8 * - 4,3 5 ∴

D u f 1,2 = - 56 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u f 1,2 = - 56 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x , y = sin ⁡ x y ,1,0
Perto de uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas x , y é z = 200 + 0.02 x 2 - 0.001 y 3 , onde x ,y e z são medido em metros. Um pescador em um pequeno barco começa no ponto 80,60 e se mov
Mostrar que uma função diferenciável f diminui mais rapidamente em x na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de - ∇ f x Use o resultado da parte (a) para encontrar a direção qual a f
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )
Determine as direções em que a derivada direcional de f x , y = y e - x y no ponto 0 ,2 tem valor 1 .