Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto P , na direção do ponto Q .

a)

f x , y = x 2 y 2 - y 3 ,   P 1,2 ,   Q - 3,5

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de f x , y num ponto P 1,2 em direção ao ponto Q - 3,5 .

Por definição, temos que a derivada direcional de f num ponto x , y na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u f x , y = ∇ f x , y ∙ u →

No nosso caso, precisamos encontrar nosso vetor u → :

u → = Q - P ∴

u → = - 3 - 1 ,   5 - 2 ∴

u → = - 4,3

Normalizando nosso vetor, temos:

u → = - 4,3 - 4 2 + 3 2 = - 4,3 5

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f x , y = x 2 y 2 - y 3 :

f x = 2 x y 2

f y = 2 x 2 y - 3 y 2

Logo, o vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y = 2 x y 2 , 2 x 2 y - 3 y 2

Logo, no ponto P , temos:

∇ f 1,2 = 2 * 1 * 2 2 , 2 * 1 2 * 2 - 3 * 2 2 ∴

∇ f 1,2 = 8 , - 8

Assim, aplicando na derivada direcional no ponto P na direção do ponto Q , obtemos:

D u f 1,2 = 8 , - 8 * - 4,3 5 ∴

D u f 1,2 = - 56 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u f 1,2 = - 56 5

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