Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Se

f x , y = x 2 y + y ²

No ponto P = ( 1 , - 1 ) , encontre a direção onde f tem a máxima taxa de variação e determine o valor desta taxa.

Passo 1

A taxa de variação de f é máxima na direção do vetor ∇ f P . Então vamos calcular esse gradiente:

f x x , y = 2 x y

f y x , y = x 2 + 2 y

⇒ ∇ f P = 2 1 - 1 ,   1 2 + 2 ( - 1 ) = - 2 , -   1

Então f cresce mais rápido na direção do vetor - 2 , - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, e vale:

∇ f P = - 2 , - 1 . = ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 5

Resposta

f cresce mais rápido na direção do vetor - 2 , - 1 e a taxa de variação máxima é 5 .

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