Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Seja f : R 2 →   R diferenciável. Sabendo-se que no ponto A = ( 1 ,   3 ) o vetor v → = ( 1 ,   1 ) aponta na direção e sentido de maior crescimento de f em A e que a derivada direcional de f no ponto A na direção de v → é 8 , determine ∇ f ( 1 ,   3 ) .

Passo 1

Bem... o que a gente quer é o vetor gradiente no ponto A , e a gente já sabe uma coisa muito importante sobre o vetor gradiente:

  • O vetor gradiente, sempre aponta para o sentido de maior crescimento de uma função

A gente deve lembrar, em primeiro lugar, que um vetor na direção do outro se diferencia apenas por um múltiplo escalar, um número real qualquer, por exemplo: 6 ,   6 = 6 ( 1 ,   1 ) , logo ( 6 ,   6 ) tem a mesma direção ( 1 ,   1 ) .

Se lembrando também que vetor unitário é o vetor dividido pelo seu módulo, teremos que o vetor gradiente de f no ponto A será justamente um múltiplo escalar do vetor unitário na direção de v , ou seja:

∇ f 1 ,   3 = k ∙ v → v →

Logo, resolver o problema, é justamente encontrar o valor dessa constante k , bora lá?!

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Passo 2

Vamos chamar aquele vetor unitário na direção de v de u → . Assim, teremos

u → = v → v →

Calculando o módulo de v   se lembrando que módulo de um vetor é a raiz das somas dos quadrados de suas entradas...

v → = ( 1 ,   1 ) = 1 2 + 1 2 = 2

Logo, teremos que

u → = v → v → = 1 2 1 ,   1 = 2 2 , 2 2

Passo 3

Para a gente determinar k agora, vamos utilizar a informação do problema que a gente ainda não utilizou: a derivada direcional :)

A gente sabe que a derivada direcional na direção de um vetor v → é o produto interno do gradiente pelo vetor unitário naquela direção, o u → , ou seja

∂ f ∂ u → 1 ,   3 =   < ∇ f 1 ,   3 , u → >

Se a gente substituir ∇ f 1 ,   3 = k v → v → = k u → , teremos

∂ f ∂ u → 1 ,   3 =   < k u → , u → >

A constante k , pode sair do produto interno

∂ f ∂ u → 1 ,   3 =   k < u → , u → >

Se lembrando que < u → , u → > = u → , e módulo de um vetor unitário é 1 , teremos

∂ f ∂ u → 1 ,   3 =   k < u → , u → >   = k

Mas, o problema nos disse que a derivada direcional é 8 , logo

∂ f ∂ u → 1 ,   3 = 8 = k

Passo 4

A gente conclui então que o gradiente é dado por

∇ f 1 ,   3 = k ∙ v → v → = 8 2 2 , 2 2

Simplificando...

∇ f 1 ,   3 = 16 2 , 16 2 = ( 2 ,   2 )

Resposta

∇ f 1 ,   3 = ( 2 ,   2 )

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