Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

a)

f x , y = 5 x y 2 , 3 , - 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu uma função f e um ponto, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção.

Para encontrarmos a taxa de variação máxima, basta calcularmos o módulo do vetor gradiente.

Nesse sentido, primeiramente a gente calcula as derivadas parciais das coordenadas e logo em seguida montamos a regra geral do vetor gradiente, que é dada por:

∇ f x , y = f x , f y

Por fim, substituímos as coordenadas nos pontos dados!!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais sabendo que f x , y = 5 x y 2 .

Aplicando a regra da potência, obtemos:

f x = 5 y 2

f y = 10 x y

Assim, nosso vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y = 5 y 2 , 10 x y

Assim, substituindo a equação no ponto dado, obtemos o ponto em que ocorre a máxima taxa de variação:

∇ f 3 , - 2 = 5 * 2 2 , 10 * 3 * - 2 ∴

∇ f 3 , - 2 = 20 , - 60

Dessa forma, a taxa de variação �� dada por:

∇ f 3 , - 2 = 20 2 + - 60 2 ∴

∇ f 3 , - 2 = 63,245

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ f 3 , - 2 = 63,245

20 , - 60

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )