Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

c)

f x , y , z = x y + z , 8,1 , 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu uma função f e um ponto, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção.

Para encontrarmos a taxa de variação máxima, basta calcularmos o módulo do vetor gradiente.

Nesse sentido, primeiramente a gente calcula as derivadas parciais das coordenadas e logo em seguida montamos a regra geral do vetor gradiente, que é dada por:

∇ f x , y , z = f x , f y , f z

Por fim, substituímos as coordenadas nos pontos dados!!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais sabendo que f x , y , z = x y + z .

Aplicando a regra da potência, obtemos:

f x = 1 y + z

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:

f y = - x y + z 2

f z = - x y + z 2

Assim, nosso vetor gradiente é dado por:

∇ f x , y , z = 1 y + z , - x y + z 2 , - x y + z 2

Assim, substituindo a equação no ponto dado, obtemos o ponto em que ocorre a máxima taxa de variação:

∇ f 8,1 , 3 = 1 1 + 3 , - 8 1 + 3 2 , - 8 1 + 3 2 ∴

∇ f 8,1 , 3 = 1 4 , - 4 5 , - 4 5

Dessa forma, a taxa de variação é dada por:

∇ f 8,1 , 3 = 1 4 2 + - 4 5 2 + - 4 5 2 ∴

∇ f 8,1 , 3 = 1,159

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ f 8,1 , 3 = 1,159

1 4 , - 4 5 , - 4 5

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )