Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

12. Num balão a temperatura T em qualquer ponto P diferente do centro C é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro C . Calcule a taxa de variação da temperatura em P seguindo um vetor unitário u → . Caracterize as taxas máxima, mínima e nula no ponto P .

Passo 1

O problema diz que a temperatura T em qualquer ponto P diferente do centro C é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro C .

Vamos chamar essa distância de C P → . Portanto a temperatura é dada por:

T = k   C P → 2 ,   k > 0

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Passo 2

Ele quer que calculemos:

∂ T ∂ u → P = ∇ f P ⋅ u u  

Como o vetor u → é unitário a fórmula fica:

∂ T ∂ u → P = ∇ f P ⋅ u →

Agora, devemos encontrar o vetor gradiente:

∇ f = 2 k C P → ; k > 0

Portanto, a derivada direcional fica:

∂ T ∂ u → P = 2 k C P → ⋅ u → ; k > 0

Passo 3

A taxa máxima é dada pelo módulo do gradiente, ou seja:

2 k C P → = 2 k C P →

Passo 4

A taxa mínima é o simétrico da taxa máxima:

- 2 k C P →

Passo 5

A taxa nula ocorre nos dois sentidos perpendiculares a C P → , pois o produto escalar entre o gradiente e o vetor u → é zero.

Resposta

Derivada direcional:

∂ T ∂ u → P = 2 k C P → ⋅ u → ; k > 0

Taxa Máxima:

2 k C P →

Taxa Mínima:

- 2 k C P →

Taxa nula:

A taxa nula ocorre nos dois sentidos perpendiculares a C P →

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