Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

A distribuição de temperatura em uma chapa metálica é dada por T x , y = x 4 1 ° C m 4 + y 3 1 ° C m 3 , onde T é medido em graus Celsius e x , y em metros. Se um sensor de temperatura se desloca a partir do ponto 1,1 na direção e sentido da derivada direcional máxima nesse ponto, qual a temperatura após 5 metros?

  1. 161   ° C
  2. 689   ° C
  3. 308   ° C
  4. 5 1 4   ° C
  5. 1512   ° C

Passo 1

A direção e sentido da derivada direcional máxima é a direção e sentido do vetor gradiente de T . Assim

T x , y = x 4 + y 3 ⇒ ∇ T x , y = 4 x 3 , 3 y 2

No ponto ( 1,1 ) :

⇒ ∇ T 1,1 = 4 . 1 3 , 3 . 1 2 = 4,3

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Passo 2

Tá, mas ele quer saber qual vai ser a temperatura após o sensor andar um vetor do tamanho de 5 metros.

De onde que ele tirou 5 metros??

Se você observar com carinho, o sensor ta saindo do ponto ( 1,1 ) e andando 5 metros na direção e sentido do vetor gradiente.

Mas, o vetor gradiente é justamente um vetor de módulo igual a 5:

4,3 = 4 2 + 3 2 = 25 = 5

Então, o que acontece é que o sensor sai do ponto ( 1,1 ) e anda exatamente o tamanho do vetor gradiente. Ou seja, ele anda 4 m na direção x e 3 m na direção y .

Assim, ele sai do ponto ( 1,1 ) e chega no ponto 1 + 4 ,   1 + 3 = 5,4 .

Passo 3

Agora, para saber a temperatura nesse ponto, é só substituir ele na expressão de T :

T 5,4 = 5 4 + 4 3 = 625 + 64 = 689

Resposta

L e t r a   b

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