Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Admita que

T x , y = 16 - 2 x 2 - y 2

Represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização γ ( t ) para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto ( 1,1 ) , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

  1. γ t = e - 4 t , e - 2 t ,   t ≥ 0
  2. γ t = e - 2 t , e - 4 t ,   t ≥ 0
  3. γ t = e 4 t , e 2 t ,   t ≥ 0
  4. γ t = e 2 t , e 4 t ,   t ≥ 0
  5. γ t = 1 + e - 4 t , 1 + e - 2 t ,   t ≥ 0

Passo 1

Se a nossa partícula se desloca sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura, significa que ela sempre se desloca na direção e sentido do vetor gradiente de T , ou seja, na direção e sentido do vetor

∇ T x , y = ( - 4 x , - 2 y )

Isso significa que esse é o vetor tangente da trajetória da nossa partícula.

Passo 2

Se a gente imaginar que a trajetória é dada por

γ t = x t , y t

Então ela deve satisfazer

x ' t = - 4 x ( t )

y ' t = - 2 y ( t )

Porque o vetor tangente da curva tem que ser igual ao vetor gradiente de T que a gente conversou ali em cima, certo?

Além disso, se a nossa partícula se desloca A PARTIR do ponto ( 1,1 ) , então significa que quando t = 0 , o ponto inicial da trajetória é esse, ou seja,

x 0 = 1

y 0 = 1

Passo 3

Então temos nosso problema definido, como uma edo, onde tanto a componente x quanto a componente y da nossa curva são funções tais que a derivada da função é igual a própria função vezes uma constante. E mesmo que a gente não lembre muito de edo, isso tem mó cheiro de função exponencial né haha até porque as opções já sugerem isso né.

E

x 0 = 1

y 0 = 1

São as nossas condições de contorno.

Então:

x ' t = - 4 x t ⇒ x t = e - 4 t + c 1

y ' t = - 2 y t ⇒ y t = e - 2 t + c 2

Como

x 0 = e - 4 . 0 + c 1 = 1 ⇒ c 1 = 0

y 0 = e - 2 . 0 + c 2 = 1 ⇒ c 2 = 0

Ou seja, nossa curva é:

γ t = e - 4 t , e - 2 t ,   t ≥ 0

Resposta

L e t r a   a

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )