Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Derivadas Direcionais

Considere f x , y = x + y x - y . Se v = ( a , b ) é um vetor unitário tal que D v f ( 2,1 ) é máxima, então a + b vale:

(a) 1 / 5

(b) - 1 / 5

(c) 2 / 5

(d) 2

(e) - 2

Passo 1

Pra derivada direcional ser máxima, ela tem que estar na mesma direção do gradiente!

Então vamos achar o gradiente! Aplicando a regra do quociente:

∂ f ∂ x x , y = 1 . x - y - x + y . 1 x - y 2 = - 2 y x - y 2

∂ f ∂ y x , y = 1 . x - y - x + y . ( - 1 ) x - y 2 = 2 x x - y 2

Então no ponto ( 2,1 ) :

∂ f ∂ x 2,1 = - 2 1 2 = - 2

∂ f ∂ y 2,1 = 4 1 2 = 4

⇒   ∇ f 2,1 = ( - 2,4 )

Logo, o vetor v tem que ter a direção ( - 2,4 ) , ou seja respeitar as condições b = - 2 a , com a < 0 e b > 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E como ele é unitário:

a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = 1

⇒ a 2 + - 2 a 2 = 5 a 2 = 1

⇒ a = - 1 5

já que a < 0 . Assim:

b = 2 5

⇒ a + b = 1 5

Resposta

Alternativa (a)

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