Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 24) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre

f x , y , z = x + y z

1,1 , - 1

Passo 1

Olá pessoaaaal! Vamos lá, o problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado. Para isso, devemos lembrar que a direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do vetor gradiente. Assim, seu valor máximo será a norma do gradiente, sacou?

Então vamos lá!!

Passo 2

Temos a função

f x , y , z = x + y z

Vamos calcular suas derivadas parciais para encontrarmos o gradiente da função

f x = 1 z

f y = 1 z

f z = - x + y z 2

Então, o vetor gradiente da função é

∇ f x , y , z = 1 z , 1 z , - x + y z 2

Usando x ,   y = ( 1,1 , - 1 ) , que é o ponto dado:

∇ f 1,1 , - 1 = - 1 , - 1 , - 2

Passo 3

A direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do gradiente:

u → = - 1 , - 1 , - 2

Calculando o módulo desse vetor, temos a taxa de variação máxima:

u → = 1 2 + 1 2 + 2 ² = 6

E deixando o vetor na forma unitária, dividindo pelo seu módulo, vamos ter a direção em que isso ocorre:

u → = - 1 6 , - 1 6 , - 2 6

E é isso galerinha

Resposta

∇ f 1,1 , - 1 = 6

- 1 6 , - 1 6 , - 2 6

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