Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Considere a função

f x , y = e x cos ⁡ y

Determine:

  1. A direção ou direções em que a derivada direcional de f no ponto ( 0,0 ) é igual a 2 2 .
  2. A direção ou direções em que a derivada direcional é máxima e encontre esse valor máximo. Use o mesmo ponto do item a .

Observação: as direções são dadas por vetores unitários.

Passo 1

a )

Queremos que a derivada direcional de f em ( 0,0 ) seja 2 2 , assim:

D u = ∇ f P 0   . u u = 2 2

O ponto P 0 nós temos, e a função f também. Assim, o gradiente a gente consegue calcular. Nossa incógnita será então o vetor u .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá. f x , y = e x cos ⁡ y

∇ f = e x cos ⁡ y ,   - e x sen ⁡ y

No ponto P 0 = ( 0,0 ) :

∇ f 0,0 = e 0 cos ⁡ 0 ,   - e 0 sen ⁡ 0 = ( 1,0 )

Substituindo na fórmula da derivada direcional:

( 1,0 )   . u 1 u 1 2 + u 2 2 , u 2 u 1 2 + u 2 2 = 2 2

Fazendo esse produto escalar, temos

u 1 u 1 2 + u 2 2 = 2 2

Como o vetor u deve ser um vetor unitário, temos:

u 1 = 2 2

Passo 3

Ok, mas parece que isso não nos levou a nada, não é mesmo? Porque a gente ainda não sabe quem é a componente u 2 , então a gente ainda não sabe o vetor....

Pois então vamos imaginar como seria o vetor u no plano:

Por essa figura, podemos tirar que

cos ⁡ θ = u 1 u 1 2 + u 2 2

sen ⁡ θ = u 2 u 1 2 + u 2 2

Tranquilo?

Mas, de novo, considerando que o vetor u é um vetor unitário, teremos que u 1 2 + u 2 2 , que representa o módulo do vetor u , vai valer um, assim

u 1 2 + u 2 2 = 1

⇒ cos ⁡ θ = u 1

⇒ sen ⁡ θ = u 2

Passo 4

OPAA, mas a gente tinha achado no passo 2 que

u 1 = 2 2

Então

u 1 = cos ⁡ θ = 2 2

E o ângulo cujo cosseno vale 2 2 é

θ = ± π 4

Substituindo esses resultados em

sen ⁡ θ = u 2

Temos

sen ⁡ π 4 = u 2

u 2 = 2 2

E

sen ⁡ - π 4 = u 2

u 2 = - 2 2

Dessa forma, temos os vetores

u = 2 2 , 2 2

E

u ' = 2 2 , - 2 2

Que representam as direções em que a derivada direcional de f no ponto ( 0,0 ) é igual a 2 2 .

Passo 5

b )

A direção em que a derivada direcional é máxima é dada pela direção do vetor gradiente.

Assim, o vetor que procuramos aqui é o vetor

∇ f 0,0 = ( 1,0 )

Observe que ele já tem módulo 1. Assim, a gente nem precisa dividir ele pelo módulo!

O valor máximo da derivada direcional é dado pelo módulo do vetor gradiente. E, nesse caso, já vimos que nosso vetor gradiente tem módulo 1, assim:

t a x a   m á x i m a = ∇ f 0,0 = 1

Resposta

a )

u = 2 2 , 2 2

u ' = 2 2 , - 2 2

b )

∇ f 0,0 = ( 1,0 )

t a x a   m á x i m a = ∇ f 0,0 = 1

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