Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Em que direção, a partir de P , a taxa de variação de temperatura com relação à posição é máxima? E qual é a taxa nesta direção, em ℃ / c m   ?

Passo 1

A temperatura vai aumentar mais no sentido do vetor gradiente, certo? Então vamos calculá-lo!

T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ²

⇒ ∂ T ∂ x x , y = 0 - 2.2 x - 0 = - 4 x

⇒ ∂ T ∂ y x , y = 0 - 0 - 4.2 y = - 8 y

Então o gradiente é

∇ T x , y = ( - 4 x , - 8 y )

E no ponto P = ( 2,1 ) , que é onde nos interessa:

∇ T x , y = ( - 8 , - 8 )

Então a taxa de variação é máxima na direção do vetor ( - 8 , - 8 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E o valor dessa taxa de variação é simplesmente o módulo do vetor gradiente em P :

t a x a = ∇ T ( P ) = ( - 8 , - 8 )

⇒ t a x a = 2 . - 8 2 = 8 2   ℃ / c m

Resposta

- Na direção do vetor ( - 8 , - 8 ) , ou ( - 1 , - 1 ) também serve.

- Taxa de 8 2   ℃ / c m

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