Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja

f x , y = x 3 y - x y 2 + c x 2

Onde c é uma constante. Se f cresce mais rapidamente no ponto ( 3,2 ) na direção do vetor v = ( 2,5 ) , então c vale:

  1. 0
  2. 44 / 5
  3. 3 / 2
  4. - 22 / 3
  5. - 15 / 2

Passo 1

Se f cresce mais rapidamente na direção do vetor v , significa que o vetor v é o vetor gradiente de f calculado no ponto ( 3,2 ) ou um vetor múltiplo dele.

Como temos a expressão de f , vamos calcular o vetor gradiente, substituir no ponto e depois comparar.

Passo 2

Vamos lá.

f x , y = x 3 y - x y 2 + c x 2

∇ f = 3 x 2 y - y 2 + 2 c x ,   x 3 - 2 x y

Substituindo no ponto ( 3,2 ) :

∇ f ( 3,2 ) = 3 . 3 2 . 2 - 2 2 + 2 c . 3 ,   3 3 - 2 . 3.2

∇ f ( 3,2 ) = 50 + 6 c , 15

Passo 3

Comparando agora com a expressão do vetor v , temos que os dois vetores tem que ser múltiplos:

∇ f 3,2 = λ v

50 + 6 c , 15 = λ ( 2,5 )

Pela segunda componente, podemos concluir que:

15 = 5 λ

λ = 3

Assim, substituindo isso na primeira componente, podemos descobrir o valor de c :

50 + 6 c = 3.2 = 6

6 c = - 44

c = - 44 6 = - 22 3

Resposta

Letra d

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )