Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Derivadas Direcionais

Uma montanha tem a superfície descrita por

z = f x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

Um esquiador está no ponto A = - 2 ,   1 ,   125 .

Se o esquiador quiser descer o mais rápido possível, em que direção e sentido ele deve tomar? Qual a taxa de descida?

Passo 1

A taxa de descida é a derivada direcional. Então devemos achar a derivada direcional onde ele desce mais rápido, descer significa DIMINUIR, então na verdade ele que a derivada direcional MINIMA!!!

A direção de menor variação é a contraria a direção do vetor gradiente.

Calcular vetor gradiente:

z = f x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f x , y = - 8 x , - 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular vetor gradiente no ponto A :

∇ f x , y = - 8 x , - 2 y

∇ f A = - 8 - 2 , - 2 1

⇒ ∇ f A = 16 , - 2

Passo 3

A direção vai ser

u = - ∇ f A

u = - 16 , - 2 = - 16,2

Passo 4

Sabemos que quando a derivada é mínima:

D u = - ∇ f P 0

Então

D u = - - 16 2 + 2 2 = - 26 0

Resposta

u = - 16,2

D u = - 260

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