Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

12 - Se o potencial elétrico em um ponto x , y do plano x y é V x , y então o vetor campo elétrico no ponto x , y é E → = ∇ V . Suponha que V x , y = e - 2 x c o s 2 y .

b) Mostre que, em cada ponto no plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor E → .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, nos deram um potencial elétrico dado por V x , y = e - 2 x c o s 2 y . O campo elétrico gerado pelo potencial V é obtido apartir do gradiente de V , ou seja, E → = ∇ V .

Com isso, o principal objetivo é mostrar que o potencial elétrico diminui mais rapidamente na direção e sentido do campo elétrico.

No item a) dessa questão calculamos que o campo elétrico de V , é dado por

E → = ∇ V = - 2 cos ⁡ 2 y e - 2 x , - 2 s e n 2 y e - 2 x

Ok, mas como achamos a direção e o sentido em que o potencial elétrico diminui mais rapidamente?? 🤔🤔

De forma bem direta, a direção e o sentido em que o potencial diminui mais rapidamente será a direção e o sentido contrário em que o potencial cresce mais.

Com isso, podemos lembrar que a derivada direcional aponta para onde a função mais cresce, encontrando esse vetor, basta calcularmos a direção contraria a ele.

Entendeu? Bora provar que isso está certo!

Passo 2

Sabemos que uma derivada direcional cresce mais rápido na direção do seu vetor gradiente, ou seja

u = ∇ V ∇ V

Onde u é o nosso vetor direcional unitário.

Sabemos também que a função decresce mais rápido na direção e sentido contrário à u , o qual vamos chamar de vetor v , onde

v = - ∇ V

Podemos provar que u = - v igualando as duas equações.

Se v = - ∇ V , então - v = ∇ V , igualando a u = ∇ V , temos

u = ∇ V = - v

u = - v

Com isso, podemos definir alguns pontos e mostrar que a direção de u é igual a - v , ou seja a direção do campo elétrico é a direção oposta de v .

Passo 3

Por exemplo, no ponto P = 0,0

Calculando a direção e sentido em que V possui a maior taxa de crescimento, temos

u = ∇ V 0,0 ∇ V 0,0

u = - 2 cos ⁡ 2 0 e - 2 0 , - 2 s e n 2 0 e - 2 0 - 2 cos ⁡ 2 0 e - 2 0 2 + - 2 s e n 2 0 e - 2 0 2

u = - 2,0 2

u = - 2 2 , 0

Neste ponto a direção contrária a u é dada por v onde

v = - - 2 2 , 0

v = 2 2 , 0

Perceba que v pertence a E → , apenas pegamos uma direção diferente do gradiente.

Agora vamos mostrar que em v o valor de V está decrescendo. Pra isso vamos usar a definição no limite.

Mas que definição é essa?? Limite??

Relaxa, veja só!

Passo 4

Podemos escrever a derivada direcional como

D v V = lim t → 0 ⁡ V a + t v 1 , b + t v 2 - e - 2 x c o s 2 y t

Onde a e b são as coordenadas do ponto P e v 1 e v 2 são as coordenadas de v .

Substituindo as informações do passo anterior, temos

lim t → 0 ⁡ e - 2 0 + t 2 2 c o s 2 ( 0 + t 0 - e - 2 0 c o s 2 0 t

lim t → 0 ⁡ e - 4 2 t c o s 0 - e 0 c o s 0 t

Simplificando os resultados, temos

lim t → 0 ⁡ e - 4 2 t - 1 t

Para resolver esse limite, não podemos substituir t por 0 por enquanto, já que isso vai zerar o denominador e o numerador.

Vamos aplicar um método poderosíssimo e muito eficiente, a regra de L’Hopital!

Passo 5

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite até desfazermos a indeterminação.

Derivando o numerador, temos

d e - 4 2 t - 1 d t = - 4 2 e - 4 2 t

Derivando o denominador

d t d t = 1

Substituindo no limite, temos

lim t → 0 ⁡ - 4 2 e - 4 2 t 1

Agora sim, substituindo t por 0 , temos

D v V = lim t → 0 ⁡ - 4 2 e - 4 2 t 1 = - 4 2

D v V = - 4 2

Ou seja, a derivada direcional é negativa. Isso significa que o potencial V está decaindo a uma taxa de 4 / √ 2 na direção de v .

Se fizermos o mesmo procedimento para qualquer ponto, vamos encontrar um valor negativo, ou seja, de decrescimento.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

O potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor E →

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