Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

A temperatura é T ( x , y ) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano x y e T ( x ,   y )   =   3 x 2   +   2 x y . A distância é medida em metros.

  1. Ache a direção e o sentido em que a taxa de variação é máxima em 3 , - 6 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu uma função T e um ponto, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima de T no ponto dado.

Para encontrarmos a taxa de variação máxima, basta calcularmos o módulo do vetor gradiente.

Nesse sentido, primeiramente a gente calcula as derivadas parciais das coordenadas e logo em seguida montamos a regra geral do vetor gradiente, que é dada por:

∇ T x , y = T x , T y

Depois é só substituir pelo ponto dado que encontramos a direção!!

Por fim, subtraímos o ponto que encontramos pelo que a questão nos deu e encontramos o sentido!!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais sabendo que T ( x ,   y )   =   3 x 2   +   2 x y .

Aplicando a regra da potência, obtemos:

T x = 6 x + 2 y

T y = 2 x

Assim, nosso vetor gradiente é dado por:

∇ T x , y = 6 x + 2 y , 2 x

Assim, substituindo a equação no ponto dado, obtemos o ponto em que ocorre a máxima taxa de variação:

∇ T 3 ,   - 6 = 6 * 3 + 2 - 6 , 2 * 3 ∴

∇ T 3 ,   - 6 = 6,6

Passo 3

Agora, vamos chamar de u o vetor que descreve o sentido.

Como foi dito no Passo 1, para encontrar esse vetor, subtraímos o ponto que encontramos pelo que a questão nos deu:

u = 6,6 - 3 , - 6 ∴

u = 6 - 3 ,   6 - - 6 ∴

u = 3,12

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ T 3 ,   - 6 = 6,6

u = 3,12

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )