Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Derivadas Direcionais

Você está no ponto - 100 ,   - 100 ,   430 em uma colina com a forma dada pelo gráfico de z = 500 - 0,003 x 2 - 0,004 y 2 , com x , y e z dados em metros.

a) Em que direção, no plano O x y , você deveria sair para fazer a subida mais íngreme?

b) Qual a taxa de variação nessa direção?

c) A que ângulo, em relação à horizontal, você estará subindo inicialmente?

Passo 1

a) Direção de subida mais íngreme é a direção na qual a taxa de variação de subida é a mais alta possível! E, essa, é sempre a direção do vetor gradiente! Então, partiu encontrar o ∇ f x , y ! Se z = f x , y , temos:

f x , y = 500 - 0,003 x 2 - 0,004 y 2

f x = - 0,006 x

f y = - 0,008 y

E, juntando as derivadas no vetor gradiente, temos:

∇ f x , y = - 0,006 x , - 0,008 y

E o que falta para termos a direção certinha? Substituir no vetor gradiente o ponto no qual estamos, - 100 ,   - 100 ,   430 ! Como a questão pede apenas no plano O x y , ignoramos a terceira coordenada ;) Fica então:

∇ f - 100 , - 100 = - 0,006 . - 100 ,   - 0,008 . - 100

∇ f - 100 , - 100 = 0,6 , 0,8

Pronto, só isso :D

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Passo 2

b) Qual o valor da taxa nessa direção que encontramos? É a norma do vetor! Então, partiu encontrar esse módulo! Lembra como fazemos isso? Pegamos a raiz quadrada das coordenadas ao quadrado somadas:

∇ f - 100 , - 100 = 0,6 2 + 0,8 2 = 1 = 1

Simples assim! Nossa taxa de variação é de 1 m / s

Passo 3

Agora, temos que saber qual é o ângulo que o vetor gradiente faz com a horizontal. Para isso, precisamos imaginar o seguinte: Estamos num ponto da nossa montanha, e sabemos qual é a direção no plano O x y que devemos seguir. Mas, se seguíssemos nessa direção, estaríamos furando a montanha ou pulando para fora dela! Para visualizar melhor essa questão, é esse aqui o problema:

Esse ponto azul é o lugar onde estamos, e a reta é a que tem direção 6,8 no plano O x y , que levamos até o nosso ponto.

Ou seja, já temos duas componentes da nossa direção: 0,6 ; 0,8 ; z . Precisamos, agora, saber qual é a componente z do vetor diretor (para que, dando o próximo passo, ainda estejamos na superfície da montanha!). Então, que vetor é esse? É um vetor tangente à superfície da montanha! E daí, como faremos pra descobri-lo? Acho que a maneira mais fácil é pensar que ele pertence ao plano tangente à montanha neste ponto que estamos!

Beleza, então, nossa estratégia será: 1 -Encontremos o plano tangente; 2 -Substituir as coordenadas x , y = 0,6 ; 0,8 na equação do plano e ver qual é a altura z correspondente. 3 - Aí, para saber a inclinação da direção que estamos caminhando, basta dividir a altura z encontrada pela norma do vetor 0,6 ; 0,8 no plano O x y , e teremos a tangente do ângulo!

Passo 4

Para encontrar o plano tangente, precisamos do gradiente de F x , y , z , sabendo que

z = f x , y

F x , y , z = f x , y - z

Então, ∇ F x , y , z = f x , f y , - 1 , pois a derivada F z é sempre - 1 ! Como já calculamos f x e f y (que são as tão comentadas coordenadas da direção de maior crescimento), fica:

∇ F x , y , z = 0,6 ; 0,8 ; - 1

Passo 5

Como já temos o ponto de tangência, que é o próprio que estamos, só precisamos jogar o vetor gradiente e esse ponto na equação do plano:

x , y , z . n → = P . n →

x , y , z . 0,6 ; 0,8 , - 1 = - 100 ,   - 100 ,   430 . 0,6 ; 0,8 , - 1

Desenvolvendo...

0,6 x + 0,8 y - z = - 600 - 800 - 430

0,6 x + 0,8 y - z = - 570

E aí está a equação do plano tangente!

Olha como ele casou certinho com o nosso desenho:

Passo 6

Estamos quase! Segura aí que a resposta está vindo! O que precisamos fazer? Já temos nosso plano tangente, já temos a direção no plano O x y ... E agora? Agora só precisamos pegar um ponto no plano cuja projeção esteja sobre a reta de direção 0,6 ; 0,8 ! Sim, pois essa é a direção no plano O x y que nos dá o maior crescimento! Por exemplo, só pra não ter essas vírgulas todas, se colocamos no plano x = 6 e y = 8 , temos z = 580 :

Está vendo essa outra bolinha que apareceu? É o ponto 6 , 8,580 ! Se ligarmos ela ao ponto que estamos, que é a bolinha de baixo, teremos o ângulo com a horizontal ;) Também serviria se escolhêssemos 60,80 , ou qualquer outro múltiplo do vetor 0,6 ; 0,8 , entendeu? Só iria mudas a altura z , mas a proporção e o ângulo de inclinação, não!

Partiu encontrar esse ângulo! Basta encontrar a tangente dessa inclinação, que será a diferença de altura (diferença no eixo z ) dividida pela distância no plano O x y das coordenadas dos dois pontos.

84850000001-3 24620089999-7 99599999911-0 33610832749-3

Para a diferença entre as alturas, temos:

Δ z = 580 - 430 = 150

Ela é a diferença entre a terceira coordenada do ponto 6 , 8,580 , o mais alto, menos a terceira coordenada do ponto - 100 , - 100,430 , mais baixo, sobre o paraboloide.

Para a diferença entre as distâncias no plano O x y , precisamos, primeiro ver a distância à origem, percorrida no plano O x y , para cada ponto. Para o primeiro, teremos - 100 2 + - 100 2 = 20000 . Para a distância à origem no plano O x y do segundo ponto temos 6 2 + 8 2 = 10 .

Assim, a diferença será Δ d = 20000 - 10

E, por fim, fazendo a tangente, temos essa coisa feia, dividindo um valor pelo outro:

θ = arctan ⁡ 20000 - 10 150

Fazendo numa calculadora, temos 43 ° , aproximadamente... Parece realmente bater com a realidade!

Resposta

a) A direção da subida mais íngreme é a direção do vetor gradiente no ponto que estamos: 6 10 , 8 10 .

b) Taxa de variação é 1 m / s .

c) Estamos subindo num ângulo θ tal que θ = arctan ⁡ 20000 - 10 150

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