Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Reta Tangente e Plano Normal, Superfícies, Interseção de Superfícies, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja r a reta tangente, no ponto 1 , - 1,1 à curva que é a interseção do gráfico de f x , y = x 4 y 2 + 2 3 com a superfície de equação x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + y + z + 3 = 0 . Considere a função G x , y , z = x 2 y + y 3 + x z - z + z 2 . Sabe-se que a direção de máximo crescimento de G num ponto P , é paralela à reta r .

Determine P , a direção e sentido de maior crescimento de G em P e a maior taxa de variação de G nesse ponto.

Passo 1

Vamos por partes... Primeiro, sempre bom separar o que temos de forma mais legível:

  • Temos a curva C , interseção de f x , y = x 4 y 2 + 2 3 com x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + y + z + 3 = 0
  • Temos função G x , y , z = x 2 y + y 3 + x z - z + z 2
  • Temos a reta r t , tangente a f x , y em 1 , - 1,1 , cuja direção é paralela a direção de maior crescimento de G num ponto P .

E o que precisamos descobrir é esse tal ponto P , a direção do maior crescimento, e o valor dessa taxa de variação.

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Passo 2

Podemos descobrir a direção dessa reta r t fazendo o produto vetorial entre o vetor gradiente de f e o vetor gradiente da superfície x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + y + z + 3 = 0 . Isso porque como os vetores gradientes são ambos perpendiculares às suas respectivas superfícies, e a curva C está tanto em uma superfície como em outra. Assim, para um ponto qualquer de C , no caso, 1 , - 1,1 , o produto vetorial entre eles dá um vetor que é perpendicular a ambos, e tangente às superfícies, e, consequentemente, à C .

Partiu então encontrar os vetores gradientes! Só precisamos derivar as equações e montar o vetor:

f x , y = z = x 4 y 2 + 2 3

F x , y , z = f x , y - z

∇ F x , y , z = f x x , y , f y x , y , - 1

Lembrando que essa terceira coordenada normalmente é - 1 , pois ela vem da derivada de F em relação a z .

Derivando F em relação a x , temos o mesmo que derivando f em relação a x (pois f é a contribuição em x e y de F :

F x = f x = 4 3 x 3 y 2

Da mesma forma, para a variável y ,

F y = f y = 2 3 x 4 y

E o gradiente é ∇ F x , y , z = 4 3 x 3 y 2 ,   2 3 x 4 y ,   - 1 .

No ponto 1 , - 1,1 , vale:

∇ F 1 , - 1,1 = 4 3 1 3 - 1 2 ,   2 3 1 4 . - 1 ,   - 1 = 4 3 , - 2 3 , - 1 = 1 3 4 , - 2 , - 3

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor gradiente da superfície dada:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + y + z + 3 = 0

∇ S = S x , S y , S z

Derivando-a em relação a x , teremos:

S x = 2 x - 6

Derivando-a em relação a y , teremos:

S y = 2 y + 1

Derivando-a em relação a z, teremos:

S z = 2 z + 1

E, por fim, nosso gradiente é

∇ S x , y , z = 2 x - 6,2 y + 1,2 z + 1

Ele, no ponto 1 , - 1,1 , vale:

∇ S 1 , - 1,1 = 2.1 - 6,2 . - 1 + 1,2.1 + 1 = - 4 ,   - 1,3

Passo 4

Pronto! Só fazer o vetor gradiente! Como o 1 3 na frente do vetor gradiente de f não vai afetar em nada no produto vetorial (apenas gerar um vetor múltiplo, mas de mesma direção), nosso produto fica:

i ^ j ^ k ^ 4 - 2 - 3 - 4 - 1 3 = - 6 i ^ - 4 k ^ + 12 j ^ - 8 k ^ - 3 i ^ - 12 j ^ =

- 9,0 , - 12 = - 3 3,0 , 4

E, finalmente, temos que a direção da reta tangente no ponto 1 , - 1,1 a C é 3,0 , 4 , pois o - 3 afeta apenas a multiplicidade do vetor diretor.

Passo 5

Mas, pelo o que o enunciado disse, a reta tangente a f é paralela a direção de maior crescimento de G . Então, pegamos esse vetor diretor de r t que encontramos no passo anterior e dizemos que ele é múltiplo do vetor gradiente de G , pois é na sua direção que G (e qualquer função) tem maior taxa de variação! Assim, poderemos descobrir em que ponto ocorre essa máxima taxa de variação.

Derivando G , teremos:

G x , y , z = x 2 y + y 3 + x z - z + z 2

G x x , y , z = 2 x y + z

G y x , y , z = x 2 + 3 y 2

G z x , y , z = x - 1 + 2 z

E o vetor gradiente é o vetor no qual as coordenadas são as derivadas parciais:

∇ G x , y , z = 2 x y + z , x 2 + 3 y 2 ,   x - 1 + 2 z

Passo 6

Vamos então descobrir em que ponto ocorre essa maior taxa de variação da função? Sabendo que P = x 0 , y 0 , z 0 , o gradiente de G é dado por:

∇ G x , y , z = 2 x 0 y 0 + z 0 , x 0 2 + 3 y 0 2 ,   x 0 - 1 + 2 z 0

E, como ele é paralelo ao vetor diretor da reta r t , então podemos dizer que um é múltiplo do outro:

2 x 0 y 0 + z 0 , x 0 2 + 3 y 0 2 ,   x 0 - 1 + 2 z 0 = λ 3,0 , 4

Igualando cada coordenada desses dois vetores, sendo o diretor multiplicado por λ , uma constante, temos:

2 x 0 y 0 + z 0 = 3 λ x 0 2 + 3 y 0 2 = 0 x 0 - 1 + 2 z 0 = 4 λ

Agora é só resolver esse sistema! Mesmo tendo 4 incógnitas e 3 equações, como a prova não está (espero eu) zoando com a nossa cara, deve dar pra fazer ;)

Passo 7

Da segunda equação vemos que, como x 0 e y 0 estão ao quadrado, então, para ela dar 0 , o único jeito é x 0 = 0 e y 0 = 0 ! Com isso já matamos duas das coordenadas!

Show, e para a terceira, podemos colocar esses valores de x 0 e y 0 na primeira equação:

2.0 . 0 + z 0 = 3 λ

z 0 = 3 λ

E na terceira equação:

0 - 1 + 2 z 0 = 4 λ

Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da terceira, teremos:

- 1 + 2 z 0 - 2 z 0 = 4 λ - 6 λ

λ = 1 2

E, jogando esse valor de λ na primeira equação novamente,

z 0 = 3 2

Passo 8

Com os valores do passo anterior, vemos que o ponto P = 0,0 , 3 2 . Colocando esse ponto no gradiente ∇ G x , y , z , teremos a direção:

∇ G 0,0 , 3 2 = 2.0 . 0 + 3 2 , 0 2 + 3.0 2 ,   0 - 1 + 2.3 2 = 3 2 , 0,2

E vemos que encontramos a direção certa! Viu que ela é a mesma, digo, múltipla da direção da reta tangente, que tem como vetor diretor o vetor 3,0 , 4 ?

Encontrando o módulo desse vetor, teremos:

3 2 2 + 0 2 + 2 2 = 5 2

E pronto, missão cumprida :D

Resposta

Ponto: 0,0 , 3 2

Direção: 3 2 , 0,2

Valor da Taxa: 5 2

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