Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Considere a função

f x , y = 4 y x

Se i = ( 1,0 ) é o vetor unitário na direção x e j = ( 0,1 ) é o vetor unitário na direção y , então

  1. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 10 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 3   i + 2   j
  2. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é f 4,6 = 48 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 2   i + 3   j
  3. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 2 0 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 4   i + 3   j
  4. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 10 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 3   i + 4   j
  5. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 24 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 2   i + 3   j

Passo 1

Opa, precisamos achar a taxa máxima de variação da nossa função e a direção em que essa taxa de variação é máxima.

Mas isso aí é mole pra gente né?

Porque a gente estudou bem direitinho e já sabe que a derivada direcional de uma função f x , y na direção de um vetor u é máxima se u for o próprio gradiente da função:

u = ∇ f x , y ⇔ ∂ f ∂ u x , y = m a x

E a taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:

t a x a   m á x i m a = ∇ f x , y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular o vetor gradiente então:

f x , y = 4 y x

∇ f x , y = 4 y 2 ∙ x - 1 2 , 4 x

∇ f x , y = 2 y x , 4 x

No ponto P = ( 4,6 ) :

∇ f 4,6 = 2.6 4 , 4 4

∇ f 4,6 = 6,8

E essa é a direção em que a derivada direcional é máxima.

AHHHH NÃO ACREDITO, NÃO TEM NENHUMA OPÇÃO COM ESSE VETOR E AGORA? VOCÊ MENTIU PRA MIM? EU NÃO SEI NADA ENTÃO?

Caaaaaaaaaaaalma! Inspira, não pira!

A questão só quis dar um sustinho no nosso coração. E ai ela colocou um vetor que é múltiplo do vetor gradiente.

Se você olhar com carinho, na letra d , a gente tem o vetor ( 3,4 ) , que é, nada mais nada menos que o vetor ( 6,8 ) dividido por dois

UFA! Então a gente achou a resposta certa.

Passo 3

Mas calma! Ainda falta achar a taxa máxima de variação, ou seja, ainda falta calcular o módulo do vetor gradiente (atenção! Do vetor gradiente!!!).

E vai ser

( 6,8 ) = 6 2 + 8 2 = 100 = 10

Resposta

L e t r a   d

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