Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

A temperatura de uma chapa plana é dada por T x , y = x 2 + y 2 . A partir do ponto P = 3,4 , determine:

  1. O gradiente da temperatura
  2. A direção em que a temperatura cresce mais rápido e qual a taxa de crescimento.
  3. A direção em que a temperatura decresce mais rápido e qual a taxa de decrescimento.
  4. D u → T 3,4 = δ T δ u → 3,4 , em que u → faz um ângulo de 30 ° com o gradiente de T em 3,4

Passo 1

a)Show, só derivar!

T x , y = x 2 + y 2

T x x , y = 2 x

T y x , y = 2 y

E, de imediato, temos o gradiente da função, que é:

∇ T x , y = 2 x , 2 y

Colocando o ponto dado pelo enunciado na parada,

∇ T x , y = 2.3,2.4 = 6,8

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Passo 2

b) A direção que a temperatura cresce mais rápido é a do vetor gradiente, certo? Então metade da letra b já tá aí: Direção de maior crescimento é 6,8 .

Partiu calcular agora qual é o valor dessa derivada. Para isso, só tirar o módulo do vetor gradiente no ponto 3,4 , ou seja, o módulo do vetor 6,8

6,8 = 6 2 + 8 2 = 10

Passo 3

c) Muito parecida com a anterior... Aliás, seria igual se não fosse um sinal XD

Lembra qual é a menor taxa de variação que se pode ter numa função? É o oposto da taxa do vetor gradiente, ou seja, na direção do vetor – 6,8 = - 6 , - 8 .

E o valor dessa taxa é o módulo do vetor gradiente com um menos na frente: - 10 (já calculamos no passo anterior, é exatamente a mesma coisa).

Passo 4

d) Agora ele tá pedindo a derivada direcional no ponto 3,4 na direção do vetor u → . Que vetor é esse? Ora, é qualquer um unitário que faça ângulo de 30 ℃ com o vetor gradiente. Assim, só jogar na fórmula da derivada direcional:

D u → T x , y = ∇ T x , y . u →

OBS: Como u → é unitário, não precisa dividir pela norma, mas fique sempre alerta para ver se o vetor do enunciado é realmente unitário!

Colocando o valor do gradiente no ponto 3,4 ,

D u → T x , y = 6,8 . u →

E então? O que fazer? Só esse produto escalar! Como não sabemos as coordenadas do vetor u → , temos que usar a definição do produto escalar pelo módulo, que é o módulo de um vetor vezes o do outro vezes o cosseno do ângulo entre os vetores. Como esse ângulo é 30 ° ,

D u → T x , y = 10.1 . 3 2

Em que 10 é o módulo do vetor gradiente, já calculado na letra b e c , 1 é a norma do vetor unitário, e 3 2 é o valor de cos ⁡ 30 .

Resposta

  1. ∇ T x , y = 6,8
  2. 6,8 e taxa de 10
  3. - 6 , - 8 e taxa de - 10
  4. 5 3

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