Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Direcionais

Seja f x , y uma função diferenciável em 1,2 tal que f 1,2 = 1 . Sabe-se também que δ f δ u → 1,2 = 11 e que δ f δ v → 1,2 = - 2 , em que u → = 3 5 , 4 5 e v → = 4 5 ,   - 3 5 .

a) Ache a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,2 , 1 .

b) Qual o valor máximo que uma derivada direcional de f no ponto 1,2 pode assumir?

Passo 1

a) Para encontrar o plano tangente, precisamos do vetor gradiente no ponto pedido. E, para encontrar o vetor gradiente, vamos usar a definição de derivadas direcionais!

D u → f x , y = f x , f y . u → u →

E, como temos o valor para duas derivadas na direção de dois vetores, que também foram dados, teremos duas equações nas quais as incógnitas são as derivadas parciais, que formam o vetor gradiente!

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Passo 2

Para o primeiro vetor, temos que o valor da derivada é 11 e o vetor é

11 = f x , f y . 3 5 , 4 5 3 5 , 4 5

Sabendo que a norma desse vetor é 3 5 , 4 5 = 3 5 2 + 4 5 2 = 1 , então:

11 = f x , f y . 3 5 , 4 5 1

11 = 3 5 f x + 4 5 f y

E pronto, temos aqui a primeira equação!

Passo 3

Agora, vamos ao segundo vetor. Para ele, a derivada vale - 2 , e seu módulo é 4 5 ,   - 3 5 = 4 5 2 + - 3 5 2 = 1 :

- 2 = f x , f y . 4 5 , - 3 5 1

- 2 = 4 5 f x - 3 5 f y

E pronto! Agora só precisamos juntar as duas coisas!

11 = 3 5 f x + 4 5 f y - 2 = 4 5 f x - 3 5 f y

Multiplicando a primeira por 5 4 e a segunda por 5 3 , teremos:

55 4 = 3 4 f x + f y - 10 3 = 4 3 f x - f y

Somando, agora, uma com a outra, teremos:

55 4 - 10 3 = 3 4 f x + 4 3 f x

Multiplicando tudo por 12 , temos:

3.55 - 40 = 9 f x + 16 f x

125 = 25 f x

f x = 5

Pronto! Já temos o f x ! Agora, para descobrir o f y é só jogar em uma das equações! Na primeira, fica:

11 = 3 5 5 + 4 5 f y

f y = 10

E, assim, o vetor gradiente é 5,10 !

Passo 4

Agora, temos um vetor gradiente que tem duas variáveis. Para encontrarmos o plano, vamos fazer a artimanha de chegar na terceira componente:

z = f x , y

F x , y , z = f x , y - z

E, assim, quando derivarmos em relação a z , teremos a terceira componente do vetor gradiente igual a - 1 ! Enfim, nosso vetor fica:

∇ F x , y , z = 5,10 , - 1

E, para descobrir o plano tangente, só jogamos na fórmula, com o ponto de tangência sendo 1,2 , 1 :

x , y , z . n → = P . n →

x , y , z . 5,10 , - 1 = 1,2 , 1 . 5,10 , - 1

Desenvolvendo o produto escalar, teremos:

5 x + 10 y - z = 24

Eis aí o nosso plano!

Passo 5

b) Como sabemos, a direção de maior crescimento é aquela do vetor gradiente. E o valor dessa taxa de variação é a própria norma do vetor gradiente! Para encontrar essa norma, fazemos apenas o de sempre, raiz quadrada das componentes ao quadrado somadas:

‖ 5,10 = 5 2 + 10 2 = 125

Pronto, só isso :D

Resposta

a) 5 x + 10 y - z = 24

b) 125

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