Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 34) Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005 x 2 - 0,01 y ² , onde x, y e z são medidos em metros e você está em um ponto com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.

(a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(b) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

Passo 1

Saaalve pessoal

Ó, para saber se irá subir ou descer, devemos calcular a derivada direcional: se for positiva que dizer que o nível está aumentando, se for negativa quer dizer que está descendo. No item c , devemos calcular a taxa máxima através do módulo do vetor gradiente, e aí igualamos t g   θ = ∇ f .

Então boraa!

Passo 2

a) Encontrando as derivadas parciais:

  f x = - 0,01 x

f y = - 0,02 y

Então, temos o vetor gradiente

∇ f x , y = ( - 0.01 x , - 0,02 y )

Aplicando no ponto ( 60,40 ) :

∇ f 60,40 = - 0,6 , - 0,8

Como estamos indo para o sul, estamos indo na direção negativa do eixo y, ou seja: u = ( 0 , - 1 )

Então:

D u f 60,40 = - 0,6 , - 0,8 0 , - 1 =0,8

Logo, se andar para o sul você irá subir uma taxa de 0,8m na vertical para cada metro na horizontal, show?

Passo 3

b) Para o noroeste, temos a direção u = - 1,1 , que é à esquerda no horizontal e acima no vertical

Como o vetor tem que ser unitário, vamos dividir ele pelo módulo dele mesmo:

u = 1 2 - 1,1 = - 1 2 , 1 2

Então:

D u f 60,40 = - 0,6 , - 0,8 1 2 , 1 2 = - 0,2 2

Passo 4

c) A direção com maior taxa de variação de subida é a direção do vetor gradiente:

∇ f 60,40 = - 0,6 , - 0,8

Essa taxa é dada por

∇ f 60,40   = 1 = 1

E para encontrarmos o ângulo, vamos fazer:

t g   θ = 1

θ = 45 °

Logo, o ângulo com o horizontal é 45°.

E fimmmm!

Resposta

a) 0,8

b) - 0,2 2

c) Na direção ( - 0,6 , - 0,8 ) , com taxa 1 e ângulo de 45 °

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