Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

(Capítulo 14.6 – Exercício 32) A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 onde T é medido em ºC e x, y, z em metros.

(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P(2, -1, 2) em direção ao ponto (3, -3, 3).

(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?

(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.

Passo 1

Saaalve pessoal, vamos lá pra mais uma de derivadas direcionais

Temos a função T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , e aí vamos encontrar alguns parâmetros relacionados à derivada dela

Primeiramente, devemos calcular as derivadas parciais para cada coordenada, o que vai nos dar o vetor gradiente

A partir do vetor gradiente e do vetor unitário de direção, podemos encontrar a derivada direcional

Por fim, devemos no item c que encontrar o valor máximo da taxa de crescimento, que é o módulo do vetor gradiente.

Então vamooo

Passo 2

a) Encontrando as derivadas parciais:

T x =   - 400 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

T y = - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

T z =   - 3600 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

Então, o vetor gradiente é

∇ T = - 400 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 , - 3600 z e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

Aplicando no ponto ( 2 , - 1,2 ) :

∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43

Passo 3

O vetor que determina a direção que queremos vai do ponto P ( 2 ,   - 1 ,   2 ) em direção ao ponto ( 3 ,   - 3 ,   3 ) .

v = 3 , - 3,3 - 2 , - 1,2 = ( 1 , - 2,1 )

Mas esse vetor deve ser unitário, então dividimos pelo módulo dele mesmo:

u = v v = 1 6 , - 2 6 , 1 6

Passo 4

Dessa forma, temos que a derivada direcional vai ser

D u T = ∇ f x , y , z . u

D u T = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43 1 6 , - 2 6 , 1 6

Então:

D u T = - 5200 . 6 3 . e - 43

Passo 5

b) A direção de maior crescimento é a direção do vetor gradiente:

    ∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43

Dividindo tudo por e - 43 . 400 , temos a direção:

u = ( - 2,3 , - 18 )

Passo 6

c) Por fim, a taxa máxima de crescimento é dada pelo módulo do vetor gradiente

    ∇ T 2 , - 1,2 = - 800 e - 43 ,   1200 e - 43 , - 7200 e - 43

∇ T =   - 800 . e - 43 2 + 1200 . e - 43 2 + - 7200 . e - 43 2 = 400 e - 43 337   º C / m .

E fimmm!

Resposta

a) D u T = - 5200 . 6 3 . e - 43

b) u = ( - 2,3 , - 18 )

c) 400 e - 43 337   º C / m

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