Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Passo 1

Calcular módulo do vetor u = ( 4 , - 1,2 ) :

u = 4 2 + - 1 2 + 2 2

⇒ u = 1 6 + 1 + 4

⇒ u = 21

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Passo 2

Calcular vetor gradiente:

T x , y , z = 2 x 2 - y 2 + 4 z 2

∇ T x , y , z = ∂ T ∂ x , ∂ T ∂ y , ∂ T ∂ z = 4 x ,   - 2 y ,   8 z

Substituindo no ponto P 0 = ( 1 , - 2,1 ) :

∇ T 1 , - 2,1 = 4 ,   4 ,   8

Passo 3

Calcular derivada direcional:

∂ T ∂ u P 0 = ∇ T P 0 ⋅ u u  

⇒ ∂ T ∂ u P 0 = 4 ,   4 ,   8 ⋅ 4 , - 1,2 21

∂ f ∂ u P 0 = 1 21 ∙ ( 16 - 4 + 16 )

∂ f ∂ u P 0 = 28 21 ∙ 21 21 = 28 21 21

∂ f ∂ u P 0 = 4 21 3

Passo 4

A direção que a função T cresce mais rapidamente no ponto P 0 é a direção do vetor gradiente, ou seja, é a direção

∇ T 1 , - 2,1 = 4 ,   4 ,   8

Que já calculamos no passo 2.

Passo 5

E a taxa de crescimento máximo da função é dada pelo módulo do vetor gradiente:

∇ T 1 , - 2,1 = 4 2 +   4 2 +   8 2

∇ T 1 , - 2,1 = 16 + 16 + 64

∇ T 1 , - 2,1 = 96

∇ T 1 , - 2,1 = 4 6

Resposta

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