Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja f   : R 2 → R diferenciável. Sabendo-se que no ponto A = ( 1,3 ) o vetor v → = ( 1,1 ) aponta na direção e sentido de maior crescimento de f em A e que a derivada direcional de f no ponto A na direção de v → é 8 , determine ∇ f ( 1,3 ) .

Passo 1

Sabemos que a direção e sentido em que a derivada direcional é máxima é a direção e sentido do vetor gradiente.

Assim, o vetor v → = ( 1,1 ) é um vetor que é paralelo ao vetor gradiente de f :

∇ f ( 1,3 ) = λ ( 1,1 )

Agora pegue essa informação e reserve rsrs

Passo 2

A segunda coisa dita pela questão é que a derivada direcional na direção do vetor de maior crescimento é 8 .

E nós sabemos que essa derivada direcional é a derivada direcional máxima e que a derivada direcional máxima é igual ao módulo do vetor gradiente. Assim

D v → f 1,3 = ∇ f 1,3

∇ f 1,3 ∙ v → v → = ∇ f 1,3 = 8

Beleza, então vamos calcular o módulo de v → :

v → = 1 2 + 1 2 = 2

Assim

∇ f 1,3 ∙ 1 2 , 1 2 = ∇ f 1,3 = 8

f x 2 + f y 2 = 8

f x + f y = 16

f x = 4 - f y

Passo 3

Agora vamos pegar a informação reservada no passo 1:

∇ f ( 1,3 ) = λ ( 1,1 )

f x , f y = λ ( 1,1 )

4 - f y , f y = λ ( 1,1 )

Assim

4 - f y = λ

f y = λ

Substituindo então f y = λ na primeira equação:

4 - f y = f y

2 f y = 4

f y = 2

E portanto,

f x = 4 - f y = 4 - 2

f x = 2

Assim, o vetor gradiente é

∇ f 1,3 = ( 2,2 )

Resposta

∇ f 1,3 = ( 2,2 )

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )