Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Seja

g x , y = 2 x 2 + y 4

Considere um ponto P pertencente à curva de nível 2 de g e que a derivada direcional máxima de g em P valha 4 . Quantos pontos P satisfazem a propriedade acima descrita?

a nenhum

b 1

c 6

d 4

e 3

Passo 1

Vamos começar analisando a primeira informação: o ponto P pertence a curva de nível 2 de g . Ou seja

g P = 2 x 2 + y 4 = 2

Beleza, mas isso não nos diz muita coisa né?

Precisamos de mais uma equação pra poder descobrir os valores de x e y do ponto P .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A segunda informação nos diz que a derivada direcional máxima de g em P vale 4 .

A derivada direcional máxima nós já sabemos que é igual ao módulo do vetor gradiente. Assim, o módulo do vetor gradiente é 4 .

Vamos calcular o vetor gradiente então.

g x , y = 2 x 2 + y 4

∇ g x , y = 4 x , 4 y 3

Passo 3

O módulo do vetor gradiente é

∇ g = 4 x 2 + 4 y 3 2

∇ g = 16 x 2 + 16 y 6

∇ g = 16 ( x 2 + y 6 )

∇ g = 4 ( x 2 + y 6 )

E isso tem que ser igual a 4 :

4 ( x 2 + y 6 ) = 4

( x 2 + y 6 ) = 1

x 2 + y 6 = 1

Assim, temos nossa segunda equação!

Passo 4

Podemos montar o sistema

2 x 2 + y 4 = 2

x 2 + y 6 = 1

Isolando x 2 na segunda equação

x 2 = 1 - y 6

E substituindo na primeira:

2 1 - y 6 + y 4 = 2

2 - 2 y 6 + y 4 = 2

y 4 - 2 y 2 + 1 = 0

Assim

y 4 = 0 ⇒ y = 0

Ou

- 2 y 2 + 1 = 0 ⇒ y = ± 1 2

E, como x 2 = 1 - y 6

Para cada um dos 3 valores de y , teremos mais 2 valores de x (já que x é igual a uma raiz quadrada)

Assim, teremos 6 pontos.

Resposta

L e t r a   c

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