Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 2

Considere a função f x , y = x 2 s e n π x y , para que a derivada direcional D u f 1 , 1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u → deve formar com o eixo x (medido a partir do eixo x no sentido anti-horário) é:

  1. 0 °
  2. 90 °
  3. 45 °
  4. 30 °
  5. Não sei

Passo 1

Para que a derivada direcional seja máxima, o vetor u → deve apontar na mesma direção e sentido do vetor gradiente naquele ponto. Então bora começar calculando o gradiente. Temos:

∇ f x , y = f x x , y ,   f y x , y = 2 x s e n π x y + π y c o s π x y . x 2 ,   π x 3 c o s π x y

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Passo 2

No ponto dado 1   , 1 2 temos:

∇ f 1 , 1 2   = 2 1 s e n π 1 1 2 + π 1 2 c o s π 1 1 2 . 1 2 ,   π 1 3 c o s π 1 1 2

∇ f 1 , 1 2   = 2,0

Passo 3

Então o vetor u → deve ser um múltiplo do vetor 2,0 . Ou seja:

u → = λ , 0

Com λ > 0 , pra manter o sentido original do gradiente.

Repare que medir o ângulo que o vetor u → faz com o eixo x é a mesma coisa que medir o ângulo que ele faz com um vetor que aponta na direção e sentido do eixo x , como por exemplo o vetor v → = 1,0 .

Então:

cos ⁡ θ = u → . v → | u → | | v → | = λ , 0 1,0 λ 2 1 2 = λ λ = 1

Logo o ângulo formado entre eles é 0 °

Resposta

a) 0 °

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