Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Derivadas Direcionais

Considere a função:

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

  1. Determine a taxa de variação máxima de f em 1,1 e a direção em que isso ocorre.
  2. Calcule a derivada direcional de f em 1,1 na direção do vetor v → = 3,4 .
  3. Mostre que δ 2 f δ x 2 + δ 2 f δ y 2 = 0

Passo 1

a)

Essa tem que estar no sangue: A taxa de variação máxima (maior valor da derivada direcional) ocorre na direção do vetor gradiente!

Assim, vamos calcular as derivadas parciais, que formam o vetor gradiente. Se a função é:

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

Sua derivada em relação a x fica, pela regra da cadeia,

f x x , y = 1 x 2 + y 2   .   2 x

E em relação a y fica, também pela regra da cadeia,

f y x , y = 1 x 2 + y 2   .   2 y

E o vetor gradiente é: ∇ f x , y = 2 x x 2 + y 2 , 2 y x 2 + y 2  

Como é no ponto 1,1 , temos:   ∇ f 1,1 = 2 2 , 2 2   = ( 1,1 )  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, também deve estar no sangue que o valor da derivada direcional máxima vai ser

D ∇ f → f x , y = ∇ f x , y

Lembrando que o ponto que queremos calcular a derivada direcional é o 1,1 ,

D ∇ f → f 1,1 = ‖ 1,1 ‖

Tirando a norma do nosso vetor, temos:

1,1 = 1 2 + 1 2 = 2

E chegamos na resposta: A maior taxa de variação é 2

Passo 3

b)

Essa é basicamente a mesma coisa que a letra anterior. Pega a definição da derivada direcional e parte pro abraço:

D v → f x , y = ∇ f x , y . v → v

Agora nosso vetor diretor não é o vetor gradiente (pelo simples fato deles terem dado um específico). Então temos que calcular sua norma e depois fazer o produto escalar dele pelo vetor gradiente. Tendo v → = 3,4 calculemos a norma:

v → = 3,4

v → = 3 2 + 4 2 = 25 = 5

Passo 4

Pegando essa norma que encontramos, e jogando na equação da derivada direcional para o ponto 1,1 , temos:

D v → f 1,1 = ∇ f 1,1 . 3,4 5

como ∇ f 1,1 = 1,1 ,

D v → f 1,1 = 1,1 . 3,4 5

D v → f 1,1 = 3 5 + 4 5 = 7 5

E enfim, chegamos no valor da derivada direcional :)

Passo 5

“Mostre que”. Intimidador, não? Enfim, só vamos derivar f x x , y e f y x , y em relação a x e a y novamente e ver se é igual, isso já mostra pro cara que a relação vale ;)

Pegando as coordenadas do vetor gradiente, já temos as primeiras derivadas,

∇ f x , y = 2 x x 2 + y 2 , 2 y x 2 + y 2  

Pegando a primeira coordenada e derivando em relação a x de novo pela regra do quociente,

f x x x , y = 2 x 2 + y 2 - 2 x . 2 x x 2 + y 2 2 = 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Pegando a segunda coordenada e derivando em relação a y de novo, pela regra do quociente também,

f y y x , y = 2 x 2 + y 2 - 2 y . 2 y x 2 + y 2 2 = 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 6

Agora é pegar as duas e somar. Se der 0 é porque fizemos certo!

f x x x , y + f y y x , y = 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 =

2 y 2 - 2 x 2 + 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Resposta

  1. A maior taxa de variação é 2
  2. D u → f 1,1 = 7 5
  3. f x x x , y + f y y x , y = 2 y 2 - 2 x 2 + 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 = 0

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