Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Suponha-se que a pressão atmosférica na posição x , y , z seja pela função

P x , y , z = 4 + x 2 2 - 3 x 2 e z

Se você está na posição 1,2 , 0 , encontre o vetor u → que da direção e sentido que você precisa se mover, a fim de diminuir a pressão atmosférica, o mais rápido possível.

  1. u → = 5,0 , 3
  2. u → = - 5,0 , - 3
  3. u → = - 1,0 , 3
  4. u → = - 5,0 , 0
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

A direção onde a derivada é mínima é a direção oposta ao do vetor gradiente:

u → = - ∇ f P 0

Devemos achar o vetor gradiente e depois substituir os valores de x , y e z . O vetor gradiente vai ser

∇ f = x - 6 x e z , 0 , - 3 x 2 e z

Passo 2

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

∇ f 1,2 , 0 = - 5,0 , - 3

Passo 3

A direção que queremos vai ser

u → = - ∇ f P 0

u → = - - 5,0 , - 3 = 5,0 , 3

Resposta

Alternativa (a)

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )