Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Passo 1

O crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente. Então para que f u 1 ,   1 2 seja máxima o vetor u tem que estar na mesma direção e sentido de ∇ f 1 , 1 2 . Então vamos calcular esse gradiente! Pela regra do produto:

∂ f ∂ x x , y = 2 x . sen ⁡ π x y + x 2 . cos ⁡ ( π x y ) . π y

⇒   ∂ f ∂ x 1 , 1 2 = 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 . π 2 = 2.1 + 0 = 2

Também temos:

∂ f ∂ y x , y = x 2 . cos ⁡ π x y . π x = π x ³ c o s ⁡ ( π x y )

⇒   ∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π cos ⁡ π 2 = 0

Logo:

∇ f 1 , 1 2 = 2,0

Passo 2

Portanto, o vetor u tem que ser paralelo ao vetor 2,0 . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo x ! Mas o vetor 2,0 é paralelo ao eixo x :

Ou seja, o ângulo entre o vetor 2,0 e o eixo x é 0 o . Então o vetor u também vai ter que formar um ângulo de 0 o com o eixo x .

Resposta

Alternativa (e)

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )